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Seconda derivata di $$$\cos^{2}{\left(x \right)}$$$
Calcolatrici correlate: Calcolatore di derivate, Calcolatrice di derivazione logaritmica
Il tuo input
Trova $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\cos^{2}{\left(x \right)}\right)$$$.
Soluzione
Trova la derivata prima $$$\frac{d}{dx} \left(\cos^{2}{\left(x \right)}\right)$$$
La funzione $$$\cos^{2}{\left(x \right)}$$$ è la composizione $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ di due funzioni $$$f{\left(u \right)} = u^{2}$$$ e $$$g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$$$.
Applica la regola della catena $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\cos^{2}{\left(x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u^{2}\right) \frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right)\right)}$$Applica la regola della potenza $$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$ con $$$n = 2$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u^{2}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(2 u\right)} \frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right)$$Torna alla variabile originale:
$$2 {\color{red}\left(u\right)} \frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right) = 2 {\color{red}\left(\cos{\left(x \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right)$$La derivata del coseno è $$$\frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right) = - \sin{\left(x \right)}$$$:
$$2 \cos{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right)\right)} = 2 \cos{\left(x \right)} {\color{red}\left(- \sin{\left(x \right)}\right)}$$Semplifica:
$$- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(2 x \right)}$$Quindi, $$$\frac{d}{dx} \left(\cos^{2}{\left(x \right)}\right) = - \sin{\left(2 x \right)}$$$.
Successivamente, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(- \sin{\left(2 x \right)}\right)$$$
Applica la regola del multiplo costante $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ con $$$c = -1$$$ e $$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(- \sin{\left(2 x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(- \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(2 x \right)}\right)\right)}$$La funzione $$$\sin{\left(2 x \right)}$$$ è la composizione $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ di due funzioni $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ e $$$g{\left(x \right)} = 2 x$$$.
Applica la regola della catena $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$$- {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(2 x \right)}\right)\right)} = - {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(2 x\right)\right)}$$La derivata del seno è $$$\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) = \cos{\left(u \right)}$$$:
$$- {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right) = - {\color{red}\left(\cos{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right)$$Torna alla variabile originale:
$$- \cos{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right) = - \cos{\left({\color{red}\left(2 x\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right)$$Applica la regola del multiplo costante $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ con $$$c = 2$$$ e $$$f{\left(x \right)} = x$$$:
$$- \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2 x\right)\right)} = - \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(2 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$Applica la regola della potenza $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ con $$$n = 1$$$, in altre parole, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$- 2 \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = - 2 \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(1\right)}$$Quindi, $$$\frac{d}{dx} \left(- \sin{\left(2 x \right)}\right) = - 2 \cos{\left(2 x \right)}$$$.
Pertanto, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\cos^{2}{\left(x \right)}\right) = - 2 \cos{\left(2 x \right)}$$$.
Risposta
$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\cos^{2}{\left(x \right)}\right) = - 2 \cos{\left(2 x \right)}$$$A