Nilai eigen dan vektor eigen dari $$$\left[\begin{array}{cc}1 & \frac{1}{5}\\\frac{1}{5} & 1\end{array}\right]$$$

Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari $$$\left[\begin{array}{cc}1 & \frac{1}{5}\\\frac{1}{5} & 1\end{array}\right]$$$.

Mulailah dengan membentuk matriks baru dengan mengurangkan $$$\lambda$$$ dari entri-entri diagonal matriks yang diberikan: $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & \frac{1}{5}\\\frac{1}{5} & 1 - \lambda\end{array}\right]$$$.

Determinan matriks yang diperoleh adalah $$$\lambda^{2} - 2 \lambda + \frac{24}{25}$$$ (untuk langkah-langkah, lihat kalkulator determinan).

Selesaikan persamaan $$$\lambda^{2} - 2 \lambda + \frac{24}{25} = 0$$$.

Akar-akarnya adalah $$$\lambda_{1} = \frac{6}{5}$$$, $$$\lambda_{2} = \frac{4}{5}$$$ (untuk langkah-langkahnya, lihat penyelesai persamaan).

Ini adalah nilai-nilai eigen.

Selanjutnya, cari vektor eigen.

• $$$\lambda = \frac{6}{5}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & \frac{1}{5}\\\frac{1}{5} & 1 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}- \frac{1}{5} & \frac{1}{5}\\\frac{1}{5} & - \frac{1}{5}\end{array}\right]$$$

  Ruang nol dari matriks ini adalah $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (untuk langkah-langkahnya, lihat kalkulator ruang nol).

  Ini adalah vektor eigen.

• $$$\lambda = \frac{4}{5}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & \frac{1}{5}\\\frac{1}{5} & 1 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{5} & \frac{1}{5}\\\frac{1}{5} & \frac{1}{5}\end{array}\right]$$$

  Ruang nol dari matriks ini adalah $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (untuk langkah-langkahnya, lihat kalkulator ruang nol).

  Ini adalah vektor eigen.

Nilai eigen: $$$\frac{6}{5} = 1.2$$$A, kelipatan: $$$1$$$A, vektor eigen: $$$\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]$$$A.

Nilai eigen: $$$\frac{4}{5} = 0.8$$$A, kelipatan: $$$1$$$A, vektor eigen: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$A.