Kalkulator Diagonalisasi Matriks

Diagonalisasikan $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3\\1 & 5 & 1\\3 & 1 & 1\end{array}\right]$$$.

Pertama, cari nilai eigen dan vektor eigen (untuk langkah-langkahnya, lihat kalkulator nilai eigen dan vektor eigen).

Nilai eigen: $$$6$$$, vektor eigen: $$$\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]$$$.

Nilai eigen: $$$3$$$, vektor eigen: $$$\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]$$$.

Nilai eigen: $$$-2$$$, vektor eigen: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]$$$.

Bentuk matriks $$$P$$$, di mana kolom ke-$$$i$$$ adalah vektor eigen ke-$$$i$$$: $$$P = \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1\\2 & -1 & 0\\1 & 1 & 1\end{array}\right]$$$.

Bentuk matriks diagonal $$$D$$$ yang elemennya pada baris $$$i$$$, kolom $$$i$$$ adalah nilai eigen ke-$$$i$$$: $$$D = \left[\begin{array}{ccc}6 & 0 & 0\\0 & 3 & 0\\0 & 0 & -2\end{array}\right]$$$.

Matriks $$$P$$$ dan $$$D$$$ sedemikian rupa sehingga matriks awal $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3\\1 & 5 & 1\\3 & 1 & 1\end{array}\right] = P D P^{-1}$$$.

$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\\\frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\- \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$ (untuk langkah-langkahnya, lihat kalkulator invers matriks).

$$$P = \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1\\2 & -1 & 0\\1 & 1 & 1\end{array}\right]$$$A

$$$D = \left[\begin{array}{ccc}6 & 0 & 0\\0 & 3 & 0\\0 & 0 & -2\end{array}\right]$$$A

$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\\\frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\- \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}0.166666666666667 & 0.333333333333333 & 0.166666666666667\\0.333333333333333 & -0.333333333333333 & 0.333333333333333\\-0.5 & 0 & 0.5\end{array}\right]$$$A