Titik kritis, ekstremum, dan titik pelana dari $$$f{\left(x,y \right)} = e^{x y}$$$

Temukan dan klasifikasikan titik-titik kritis dari $$$f{\left(x,y \right)} = e^{x y}$$$.

Langkah pertama adalah menentukan semua turunan parsial orde pertama:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(e^{x y}\right) = y e^{x y}$$$ (untuk langkah-langkah, lihat kalkulator turunan parsial).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(e^{x y}\right) = x e^{x y}$$$ (untuk langkah-langkah, lihat kalkulator turunan parsial).

Selanjutnya, selesaikan sistem $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$, atau $$$\begin{cases} y e^{x y} = 0 \\ x e^{x y} = 0 \end{cases}$$$.

Sistem ini memiliki solusi real berikut: $$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$.

Sekarang, mari kita coba mengklasifikasikannya.

Tentukan semua turunan parsial orde dua:

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(e^{x y}\right) = y^{2} e^{x y}$$$ (untuk langkah-langkah, lihat kalkulator turunan parsial).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(e^{x y}\right) = \left(x y + 1\right) e^{x y}$$$ (untuk langkah-langkah, lihat kalkulator turunan parsial).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(e^{x y}\right) = x^{2} e^{x y}$$$ (untuk langkah-langkah, lihat kalkulator turunan parsial).

Definisikan ekspresi $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - \left(2 x y + 1\right) e^{2 x y}.$$$

Karena $$$D{\left(0,0 \right)} = -1$$$ lebih kecil dari $$$0$$$, dapat dinyatakan bahwa $$$\left(0, 0\right)$$$ adalah titik pelana.

Maksimum Relatif

Tidak ada maksimum relatif.

Minimum Relatif

Tidak ada minimum relatif.

Titik Pelana

$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$A, $$$f{\left(0,0 \right)} = 1$$$A