Integral dari $$$x e^{- x^{2}}$$$

Temukan $$$\int x e^{- x^{2}}\, dx$$$.

Misalkan $$$u=- x^{2}$$$.

Kemudian $$$du=\left(- x^{2}\right)^{\prime }dx = - 2 x dx$$$ (langkah-langkah dapat dilihat di »), dan kita memperoleh $$$x dx = - \frac{du}{2}$$$.

Oleh karena itu,

$${\color{red}{\int{x e^{- x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{2}\right)d u}}}$$

Terapkan aturan pengali konstanta $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ dengan $$$c=- \frac{1}{2}$$$ dan $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{2}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{2}\right)}}$$

Integral dari fungsi eksponensial adalah $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{2} = - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{2}$$

Ingat bahwa $$$u=- x^{2}$$$:

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{2} = - \frac{e^{{\color{red}{\left(- x^{2}\right)}}}}{2}$$

Oleh karena itu,

$$\int{x e^{- x^{2}} d x} = - \frac{e^{- x^{2}}}{2}$$

Tambahkan konstanta integrasi:

$$\int{x e^{- x^{2}} d x} = - \frac{e^{- x^{2}}}{2}+C$$

$$$\int x e^{- x^{2}}\, dx = - \frac{e^{- x^{2}}}{2} + C$$$A