Integral dari $$$\frac{3 e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}}$$$

Temukan $$$\int \frac{3 e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}}\, dx$$$.

Misalkan $$$u=x^{3}$$$.

Kemudian $$$du=\left(x^{3}\right)^{\prime }dx = 3 x^{2} dx$$$ (langkah-langkah dapat dilihat di »), dan kita memperoleh $$$x^{2} dx = \frac{du}{3}$$$.

Oleh karena itu,

$${\color{red}{\int{\frac{3 e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}} d u}}}$$

Misalkan $$$v=\frac{1}{u}$$$.

Kemudian $$$dv=\left(\frac{1}{u}\right)^{\prime }du = - \frac{1}{u^{2}} du$$$ (langkah-langkah dapat dilihat di »), dan kita memperoleh $$$\frac{du}{u^{2}} = - dv$$$.

Dengan demikian,

$${\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(- e^{v}\right)d v}}}$$

Terapkan aturan pengali konstanta $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ dengan $$$c=-1$$$ dan $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- e^{v}\right)d v}}} = {\color{red}{\left(- \int{e^{v} d v}\right)}}$$

Integral dari fungsi eksponensial adalah $$$\int{e^{v} d v} = e^{v}$$$:

$$- {\color{red}{\int{e^{v} d v}}} = - {\color{red}{e^{v}}}$$

Ingat bahwa $$$v=\frac{1}{u}$$$:

$$- e^{{\color{red}{v}}} = - e^{{\color{red}{\frac{1}{u}}}}$$

Ingat bahwa $$$u=x^{3}$$$:

$$- e^{{\color{red}{u}}^{-1}} = - e^{{\color{red}{x^{3}}}^{-1}}$$

Oleh karena itu,

$$\int{\frac{3 e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}} d x} = - e^{\frac{1}{x^{3}}}$$

Tambahkan konstanta integrasi:

$$\int{\frac{3 e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}} d x} = - e^{\frac{1}{x^{3}}}+C$$

$$$\int \frac{3 e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}}\, dx = - e^{\frac{1}{x^{3}}} + C$$$A