Calculateur de l’espace nul (noyau) et de la nullité d’une matrice
Trouver les noyaux étape par étape
La calculatrice trouvera le noyau (espace nul) et la nullité de la matrice donnée, avec les étapes affichées.
Votre saisie
Trouvez le noyau de $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1\\2 & -2 & 1\end{array}\right]$$$.
Solution
La forme échelonnée réduite de la matrice est $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right]$$$ (pour les étapes, voir rref calculator).
Pour trouver le noyau, résolvez l’équation matricielle $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right].$$$
Si nous prenons $$$x_{2} = t$$$, alors $$$x_{1} = t$$$, $$$x_{3} = 0$$$.
Ainsi, $$$\mathbf{\vec{x}} = \left[\begin{array}{c}t\\t\\0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right] t.$$$
C’est le noyau.
La nullité d'une matrice est la dimension d'une base du noyau.
Ainsi, la nullité de la matrice est $$$1$$$.
Réponse
La base du noyau est $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right]\right\}$$$A.
La nullité de la matrice est $$$1$$$A.