Calculateur de décomposition LU
Trouvez la décomposition LU d'une matrice étape par étape
La calculatrice déterminera (si possible) la décomposition LU de la matrice donnée $$$A$$$, c’est-à-dire une matrice triangulaire inférieure $$$L$$$ et une matrice triangulaire supérieure $$$U$$$ telles que $$$A=LU$$$, avec les étapes affichées.
En cas de pivotage partiel (si une permutation des lignes est nécessaire), la calculatrice déterminera également la matrice de permutation $$$P$$$ telle que $$$PA=LU$$$.
Calculatrice associée: Calculatrice de décomposition QR
Votre saisie
Trouvez la décomposition LU de $$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\3 & -2 & 0\\1 & 5 & 3\end{array}\right]$$$.
Solution
Commencez par la matrice identité $$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right]$$$.
Soustraire $$$\frac{3}{2}$$$ fois la ligne $$$1$$$ à la ligne $$$2$$$: $$$R_{2} = R_{2} - \frac{3 R_{1}}{2}$$$.
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\1 & 5 & 3\end{array}\right]$$$
Écrivez le coefficient $$$\frac{3}{2}$$$ dans la matrice $$$L$$$ à la ligne $$$2$$$, colonne $$$1$$$ :
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right]$$$
Soustraire $$$\frac{1}{2}$$$ fois la ligne $$$1$$$ à la ligne $$$3$$$: $$$R_{3} = R_{3} - \frac{R_{1}}{2}$$$.
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2}\end{array}\right]$$$
Écrivez le coefficient $$$\frac{1}{2}$$$ dans la matrice $$$L$$$ à la ligne $$$3$$$, colonne $$$1$$$ :
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & 0 & 1\end{array}\right]$$$
Ajouter la ligne $$$2$$$ multipliée par $$$\frac{3}{25}$$$ à la ligne $$$3$$$ : $$$R_{3} = R_{3} + \frac{3 R_{2}}{25}$$$.
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & 0 & \frac{58}{25}\end{array}\right]$$$
Écrivez le coefficient $$$- \frac{3}{25}$$$ dans la matrice $$$L$$$ à la ligne $$$3$$$, colonne $$$2$$$ :
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & - \frac{3}{25} & 1\end{array}\right]$$$
La matrice obtenue est la matrice $$$U$$$.
Réponse
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & - \frac{3}{25} & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\1.5 & 1 & 0\\0.5 & -0.12 & 1\end{array}\right]$$$A
$$$U = \left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & 0 & \frac{58}{25}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & -12.5 & -1.5\\0 & 0 & 2.32\end{array}\right]$$$A