Calculatrice de diagonalisation de matrice

Diagonaliser $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3\\1 & 5 & 1\\3 & 1 & 1\end{array}\right]$$$.

Tout d'abord, trouvez les valeurs propres et les vecteurs propres (pour les étapes, voir calculatrice de valeurs propres et de vecteurs propres).

Valeur propre : $$$6$$$, vecteur propre : $$$\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]$$$.

Valeur propre : $$$3$$$, vecteur propre : $$$\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]$$$.

Valeur propre : $$$-2$$$, vecteur propre : $$$\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]$$$.

Formez la matrice $$$P$$$, dont la colonne $$$i$$$ est le vecteur propre n° $$$i$$$ : $$$P = \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1\\2 & -1 & 0\\1 & 1 & 1\end{array}\right]$$$.

Formez la matrice diagonale $$$D$$$ dont l’élément à la ligne $$$i$$$, colonne $$$i$$$ est la valeur propre n° $$$i$$$ : $$$D = \left[\begin{array}{ccc}6 & 0 & 0\\0 & 3 & 0\\0 & 0 & -2\end{array}\right]$$$.

Les matrices $$$P$$$ et $$$D$$$ sont telles que la matrice initiale $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3\\1 & 5 & 1\\3 & 1 & 1\end{array}\right] = P D P^{-1}$$$.

$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\\\frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\- \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de matrice inverse).

$$$P = \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1\\2 & -1 & 0\\1 & 1 & 1\end{array}\right]$$$A

$$$D = \left[\begin{array}{ccc}6 & 0 & 0\\0 & 3 & 0\\0 & 0 & -2\end{array}\right]$$$A

$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\\\frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\- \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}0.166666666666667 & 0.333333333333333 & 0.166666666666667\\0.333333333333333 & -0.333333333333333 & 0.333333333333333\\-0.5 & 0 & 0.5\end{array}\right]$$$A