Multiplicateurs de Lagrange : trouver les maximums et minimums de $$$f{\left(x,y,z \right)} = x y^{2} z^{3}$$$, sous la contrainte $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$

Trouvez le maximum et le minimum de $$$f{\left(x,y,z \right)} = x y^{2} z^{3}$$$ sous la contrainte $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$.

Attention ! Ce calculateur ne vérifie pas les conditions d'application de la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Utilisez-le à vos risques et périls : le résultat peut être incorrect.

Réécrivez la contrainte $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$ sous la forme $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 = 0$$$.

Formez le lagrangien : $$$L{\left(x,y,z,\lambda \right)} = x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)$$$.

Trouvez toutes les dérivées partielles du premier ordre :

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = 2 \lambda x + y^{2} z^{3}$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = 2 y \left(\lambda + x z^{3}\right)$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)

$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = z \left(2 \lambda + 3 x y^{2} z\right)$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)

Ensuite, résolvez le système $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial z} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$, ou $$$\begin{cases} 2 \lambda x + y^{2} z^{3} = 0 \\ 2 y \left(\lambda + x z^{3}\right) = 0 \\ z \left(2 \lambda + 3 x y^{2} z\right) = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 = 0 \end{cases}.$$$

Le système admet les solutions réelles suivantes : $$$\left(x, y, z\right) = \left(\sqrt{6 - y^{2}}, y, 0\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(\sqrt{6 - z^{2}}, 0, z\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(- \sqrt{6 - y^{2}}, y, 0\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(- \sqrt{6 - z^{2}}, 0, z\right)$$$.

$$$f{\left(\sqrt{6 - y^{2}},y,0 \right)} = 0$$$

$$$f{\left(\sqrt{6 - z^{2}},0,z \right)} = 0$$$

$$$f{\left(- \sqrt{6 - y^{2}},y,0 \right)} = 0$$$

$$$f{\left(- \sqrt{6 - z^{2}},0,z \right)} = 0$$$

Comme nous n’avons trouvé qu’une seule valeur, il vous faudra encore vérifier s’il s’agit du maximum ou du minimum. Pour ce faire, prenez un autre point satisfaisant la ou les contraintes et calculez la valeur de la fonction en ce point. Si la valeur en ce nouveau point est inférieure à celle au point initial, alors le point initial est le maximum. À l’inverse, si la valeur en ce nouveau point est supérieure, alors le point initial est le minimum.

Impossible de trouver le maximum et le minimum.