Multiplicateurs de Lagrange : trouver les maximums et minimums de $$$f{\left(x,y \right)} = 81 x^{2} + y^{2}$$$, sous la contrainte $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$

Trouvez le maximum et le minimum de $$$f{\left(x,y \right)} = 81 x^{2} + y^{2}$$$ sous la contrainte $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$.

Attention ! Ce calculateur ne vérifie pas les conditions d'application de la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Utilisez-le à vos risques et périls : le résultat peut être incorrect.

Réécrivez la contrainte $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$ sous la forme $$$4 x^{2} + y^{2} - 9 = 0$$$.

Formez le lagrangien : $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)$$$.

Trouvez toutes les dérivées partielles du premier ordre :

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 2 x \left(4 \lambda + 81\right)$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 2 y \left(\lambda + 1\right)$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 4 x^{2} + y^{2} - 9$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)

Ensuite, résolvez le système $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$, ou $$$\begin{cases} 2 x \left(4 \lambda + 81\right) = 0 \\ 2 y \left(\lambda + 1\right) = 0 \\ 4 x^{2} + y^{2} - 9 = 0 \end{cases}.$$$

Le système admet les solutions réelles suivantes : $$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{3}{2}, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, -3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{3}{2}, 0\right)$$$.

$$$f{\left(- \frac{3}{2},0 \right)} = \frac{729}{4}$$$

$$$f{\left(0,-3 \right)} = 9$$$

$$$f{\left(0,3 \right)} = 9$$$

$$$f{\left(\frac{3}{2},0 \right)} = \frac{729}{4}$$$

Ainsi, la valeur minimale est $$$9$$$, et la valeur maximale est $$$\frac{729}{4}$$$.

Maximum

$$$\frac{729}{4} = 182.25$$$A en $$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{3}{2}, 0\right) = \left(-1.5, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{3}{2}, 0\right) = \left(1.5, 0\right)$$$A.

Minimum

$$$9$$$A en $$$\left(x, y\right) = \left(0, -3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 3\right)$$$A.