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Multiplicateurs de Lagrange : trouver les maximums et minimums de $$$f{\left(x,y \right)} = 4 x + y$$$, sous la contrainte $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$
Calculatrice associée: Calculatrice de points critiques, d’extrémums et de points selle
Votre saisie
Trouvez le maximum et le minimum de $$$f{\left(x,y \right)} = 4 x + y$$$ sous la contrainte $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$.
Solution
Attention ! Ce calculateur ne vérifie pas les conditions d'application de la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Utilisez-le à vos risques et périls : le résultat peut être incorrect.
Réécrivez la contrainte $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$ sous la forme $$$- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20 = 0$$$.
Formez le lagrangien : $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)$$$.
Trouvez toutes les dérivées partielles du premier ordre :
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \lambda \sqrt{y}}{8 \sqrt{x}} + 4$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \lambda \sqrt{x}}{8 \sqrt{y}} + 1$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)
$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)
Ensuite, résolvez le système $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$, ou $$$\begin{cases} - \frac{5 \lambda \sqrt{y}}{8 \sqrt{x}} + 4 = 0 \\ - \frac{5 \lambda \sqrt{x}}{8 \sqrt{y}} + 1 = 0 \\ - \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20 = 0 \end{cases}.$$$
Le système admet la solution réelle suivante : $$$\left(x, y\right) = \left(8, 32\right)$$$.
$$$f{\left(8,32 \right)} = 64$$$
Prenez le point $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{801}{100}, \frac{25600}{801}\right)$$$.
Puisque $$$f{\left(\frac{801}{100},\frac{25600}{801} \right)} = \frac{1281601}{20025}$$$ est supérieur à $$$64$$$, on peut en conclure que $$$64$$$ est le minimum.
Réponse
Maximum
Aucun maximum.
Minimum
$$$64$$$A en $$$\left(x, y\right) = \left(8, 32\right)$$$A.