Divergence de $$$\left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle$$$

Calculer $$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle$$$.

Par définition, $$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle = \nabla\cdot \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle$$$, ou, de manière équivalente, $$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle = \left\langle \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right\rangle\cdot \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle$$$, où $$$\cdot$$$ est l’opérateur du produit scalaire.

Ainsi, $$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle = \frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} y\right) + \frac{\partial}{\partial y} \left(x y z\right) + \frac{\partial}{\partial z} \left(y z^{2}\right).$$$

Trouvez la dérivée partielle de la composante 1 par rapport à $$$x$$$ : $$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} y\right) = 2 x y$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées).

Trouvez la dérivée partielle de la composante 2 par rapport à $$$y$$$ : $$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x y z\right) = x z$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées).

Trouvez la dérivée partielle de la composante 3 par rapport à $$$z$$$ : $$$\frac{\partial}{\partial z} \left(y z^{2}\right) = 2 y z$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées).

Maintenant, il suffit de sommer les expressions ci-dessus pour obtenir la divergence : $$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle = 2 x y + x z + 2 y z$$$.

$$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle = 2 x y + x z + 2 y z$$$A