Rotationnel de $$$\left\langle y z, x z, x y\right\rangle$$$

Calculer $$$\operatorname{curl} \left\langle y z, x z, x y\right\rangle$$$.

Par définition, $$$\operatorname{curl} \left\langle y z, x z, x y\right\rangle = \nabla\times \left\langle y z, x z, x y\right\rangle$$$, ou, équivalemment, $$$\operatorname{curl} \left\langle y z, x z, x y\right\rangle = \left|\begin{array}{ccc}\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}}\\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\y z & x z & x y\end{array}\right|$$$, où $$$\times$$$ est l'opérateur de produit vectoriel.

Ainsi, $$$\operatorname{curl} \left\langle y z, x z, x y\right\rangle = \left\langle \frac{\partial}{\partial y} \left(x y\right) - \frac{\partial}{\partial z} \left(x z\right), \frac{\partial}{\partial z} \left(y z\right) - \frac{\partial}{\partial x} \left(x y\right), \frac{\partial}{\partial x} \left(x z\right) - \frac{\partial}{\partial y} \left(y z\right)\right\rangle.$$$

Calculez les dérivées partielles :

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x y\right) = x$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées).

$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(x z\right) = x$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées).

$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(y z\right) = y$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées).

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x y\right) = y$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées).

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x z\right) = z$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(y z\right) = z$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées).

Maintenant, il suffit de substituer les dérivées partielles trouvées pour obtenir le rotationnel : $$$\operatorname{curl} \left\langle y z, x z, x y\right\rangle = \left\langle 0, 0, 0\right\rangle$$$.

$$$\operatorname{curl} \left\langle y z, x z, x y\right\rangle = \left\langle 0, 0, 0\right\rangle$$$A