Rotationnel de $$$\left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle$$$

Calculer $$$\operatorname{curl} \left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle$$$.

Par définition, $$$\operatorname{curl} \left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle = \nabla\times \left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle$$$, ou, équivalemment, $$$\operatorname{curl} \left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle = \left|\begin{array}{ccc}\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}}\\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\e^{x} \cos{\left(y \right)} & x y^{2} & y z^{3}\end{array}\right|$$$, où $$$\times$$$ est l'opérateur de produit vectoriel.

Ainsi, $$$\operatorname{curl} \left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle = \left\langle \frac{\partial}{\partial y} \left(y z^{3}\right) - \frac{\partial}{\partial z} \left(x y^{2}\right), \frac{\partial}{\partial z} \left(e^{x} \cos{\left(y \right)}\right) - \frac{\partial}{\partial x} \left(y z^{3}\right), \frac{\partial}{\partial x} \left(x y^{2}\right) - \frac{\partial}{\partial y} \left(e^{x} \cos{\left(y \right)}\right)\right\rangle.$$$

Calculez les dérivées partielles :

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(y z^{3}\right) = z^{3}$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées).

$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(x y^{2}\right) = 0$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées).

$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(e^{x} \cos{\left(y \right)}\right) = 0$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées).

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(y z^{3}\right) = 0$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées).

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x y^{2}\right) = y^{2}$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(e^{x} \cos{\left(y \right)}\right) = - e^{x} \sin{\left(y \right)}$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées).

Maintenant, il suffit de substituer les dérivées partielles trouvées pour obtenir le rotationnel : $$$\operatorname{curl} \left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle = \left\langle z^{3}, 0, y^{2} + e^{x} \sin{\left(y \right)}\right\rangle.$$$

$$$\operatorname{curl} \left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle = \left\langle z^{3}, 0, y^{2} + e^{x} \sin{\left(y \right)}\right\rangle$$$A