Calculateur de boucles

La calculatrice trouvera la courbe du champ vectoriel donné, avec les étapes indiquées.

Calculatrices associées: Calculatrice de dérivées partielles, Calculateur de produits croisés, Calculatrice de déterminant matriciel

$$$\langle$$$
,
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$$$\rangle$$$
$$$($$$
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$$$)$$$
Laissez vide, si vous n'avez pas besoin de la boucle à un point spécifique.

Si la calculatrice n'a pas calculé quelque chose ou si vous avez identifié une erreur, ou si vous avez une suggestion/un commentaire, veuillez l'écrire dans les commentaires ci-dessous.

Votre entrée

Calculer l' $$$\text{curl} \left\langle \cos{\left(x y \right)}, e^{x y z}, \sin{\left(x y \right)}\right\rangle$$$.

Solution

Par définition, $$$\text{curl} \left\langle \cos{\left(x y \right)}, e^{x y z}, \sin{\left(x y \right)}\right\rangle = \nabla\times \left\langle \cos{\left(x y \right)}, e^{x y z}, \sin{\left(x y \right)}\right\rangle$$$, ou, de manière équivalente, $$$\text{curl} \left\langle \cos{\left(x y \right)}, e^{x y z}, \sin{\left(x y \right)}\right\rangle = \left|\begin{array}{ccc}\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}}\\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\\cos{\left(x y \right)} & e^{x y z} & \sin{\left(x y \right)}\end{array}\right|$$$, où $$$\times$$$ est le opérateur de produit croisé.

Ainsi, l' $$$\text{curl} \left\langle \cos{\left(x y \right)}, e^{x y z}, \sin{\left(x y \right)}\right\rangle = \left\langle \frac{\partial}{\partial y} \left(\sin{\left(x y \right)}\right) - \frac{\partial}{\partial z} \left(e^{x y z}\right), \frac{\partial}{\partial z} \left(\cos{\left(x y \right)}\right) - \frac{\partial}{\partial x} \left(\sin{\left(x y \right)}\right), \frac{\partial}{\partial x} \left(e^{x y z}\right) - \frac{\partial}{\partial y} \left(\cos{\left(x y \right)}\right)\right\rangle.$$$

Trouvez les dérivées partielles :

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\sin{\left(x y \right)}\right) = x \cos{\left(x y \right)}$$$ (pour les étapes, voir calculatrice dérivée).

$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(e^{x y z}\right) = x y e^{x y z}$$$ (pour les étapes, voir calculatrice dérivée).

$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(\cos{\left(x y \right)}\right) = 0$$$ (pour les étapes, voir calculatrice dérivée).

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\sin{\left(x y \right)}\right) = y \cos{\left(x y \right)}$$$ (pour les étapes, voir calculatrice dérivée).

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(e^{x y z}\right) = y z e^{x y z}$$$ (pour les étapes, voir calculatrice dérivée).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\cos{\left(x y \right)}\right) = - x \sin{\left(x y \right)}$$$ (pour les étapes, voir calculatrice dérivée).

Maintenant, branchez simplement les dérivées partielles trouvées pour obtenir la boucle : $$$\text{curl} \left\langle \cos{\left(x y \right)}, e^{x y z}, \sin{\left(x y \right)}\right\rangle = \left\langle x \left(- y e^{x y z} + \cos{\left(x y \right)}\right), - y \cos{\left(x y \right)}, x \sin{\left(x y \right)} + y z e^{x y z}\right\rangle.$$$

Réponse

$$$\text{curl} \left\langle \cos{\left(x y \right)}, e^{x y z}, \sin{\left(x y \right)}\right\rangle = \left\langle x \left(- y e^{x y z} + \cos{\left(x y \right)}\right), - y \cos{\left(x y \right)}, x \sin{\left(x y \right)} + y z e^{x y z}\right\rangle$$$