Points critiques, extrémums et points selle de $$$f{\left(x,y \right)} = e^{x y}$$$

Trouvez et classez les points critiques de $$$f{\left(x,y \right)} = e^{x y}$$$.

La première étape consiste à trouver toutes les dérivées partielles du premier ordre :

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(e^{x y}\right) = y e^{x y}$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(e^{x y}\right) = x e^{x y}$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)

Ensuite, résolvez le système $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$, ou $$$\begin{cases} y e^{x y} = 0 \\ x e^{x y} = 0 \end{cases}$$$.

Le système admet la solution réelle suivante : $$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$.

Maintenant, essayons de le classer.

Trouvez toutes les dérivées partielles du second ordre :

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(e^{x y}\right) = y^{2} e^{x y}$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(e^{x y}\right) = \left(x y + 1\right) e^{x y}$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(e^{x y}\right) = x^{2} e^{x y}$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)

Définissez l'expression $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - \left(2 x y + 1\right) e^{2 x y}.$$$

Puisque $$$D{\left(0,0 \right)} = -1$$$ est inférieur à $$$0$$$, on peut conclure que $$$\left(0, 0\right)$$$ est un point selle.

Maximums relatifs

Aucun maximum relatif.

Minima relatifs

Pas de minima relatifs.

Points selles

$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$A, $$$f{\left(0,0 \right)} = 1$$$A