Sum(n^(-2), (n, 5, oo))

La calculatrice tentera de calculer la somme $$$\sum_{n=5}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$$$ ou indiquera si la série est convergente, avec les étapes affichées.

Terme de la somme:

Variable:

Laissez vide pour l'autodétection.

Valeur initiale:

Valeur finale:

Si vous avez besoin d'un coefficient binomial $$$C(n,k) = {\binom{n}{k}}$$$, tapez binomial(n,k).
Si vous avez besoin d'une factorielle $$$n!$$$, tapez factorial(n).

Si le calculateur n'a pas pu calculer quelque chose, si vous avez identifié une erreur, ou si vous avez une suggestion ou un commentaire, veuillez nous contacter.

Votre saisie

Déterminez $$$\sum_{n=5}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$$$.

Solution

Split the series:

$${\color{red}{\left(\sum_{n=5}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}\right)}}={\color{red}{\left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} + \sum_{n=1}^{4} - \frac{1}{n^{2}}\right)}}$$

Since the bounds are finite, the number of terms is finite as well, and we just calculate the sum by summing up the terms.

$${\color{red}{\left(\sum_{n=1}^{4} - \frac{1}{n^{2}}\right)}}={\color{red}{\left(-1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{9} - \frac{1}{16}\right)}}$$

$${\color{red}{\left(\sum_{n=1}^{4} - \frac{1}{n^{2}}\right)}} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}={\color{red}{\left(- \frac{205}{144}\right)}} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$$

$$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$$$ is a known series.

It is $$$\sum_{n=1}^{\infty} n^{- n_{0}}=\zeta\left(n_{0}\right)$$$, $$$n_{0} > 1$$$ with $$$n_{0}=2$$$.

Therefore,

$$- \frac{205}{144} + {\color{red}{\left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}\right)}}=- \frac{205}{144} + {\color{red}{\left(\frac{\pi^{2}}{6}\right)}}$$

Hence,

$$\sum_{n=5}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}=- \frac{205}{144} + \frac{\pi^{2}}{6}$$

Réponse

$$$\sum_{n=5}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = - \frac{205}{144} + \frac{\pi^{2}}{6}\approx 0.221322955737115$$$A

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