Sum(factorial(n)/(24*2^n*factorial(n - 4)), (n, 4, oo))

La calculatrice tentera de calculer la somme $$$\sum_{n=4}^{\infty} \frac{2^{- n} n!}{24 \left(n - 4\right)!}$$$ ou indiquera si la série est convergente, avec les étapes affichées.

Terme de la somme:

Variable:

Laissez vide pour l'autodétection.

Valeur initiale:

Valeur finale:

If you need a binomial coefficient $$$C(n,k) = {\binom{n}{k}}$$$, type binomial(n,k).
If you need a factorial $$$n!$$$, type factorial(n).

Si le calculateur n'a pas pu calculer quelque chose, si vous avez identifié une erreur, ou si vous avez une suggestion ou un commentaire, veuillez nous contacter.

Votre saisie

Déterminez $$$\sum_{n=4}^{\infty} \frac{2^{- n} n!}{24 \left(n - 4\right)!}$$$.

Solution

Simplify:

$$\sum_{n=4}^{\infty} \frac{2^{- n} n!}{24 \left(n - 4\right)!}=\sum_{n=4}^{\infty} \frac{2^{- n} n \left(n - 3\right) \left(n - 2\right) \left(n - 1\right)}{24}$$

Pull the constant out of the series:

$${\color{red}{\left(\sum_{n=4}^{\infty} \frac{2^{- n} n \left(n - 3\right) \left(n - 2\right) \left(n - 1\right)}{24}\right)}}={\color{red}{\left(\frac{\sum_{n=4}^{\infty} 2^{- n} n \left(n - 3\right) \left(n - 2\right) \left(n - 1\right)}{24}\right)}}$$

By the ratio test, the series is convergent.

Consider the sum $$$\sum_{n=4}^{\infty} z_{0}^{n}=\frac{z_{0}^{4}}{1 - z_{0}}$$$ (see steps).

By the ratio test, it is convergent when $$$\left|{z_{0}}\right| < 1$$$.

Differentiate both sides of the equality $$$4$$$ times with respect to $$$z_{0}$$$ (for steps, see derivative calculator):

$$\sum_{n=4}^{\infty} \frac{n z_{0}^{n} \left(n^{3} - 6 n^{2} + 11 n - 6\right)}{z_{0}^{4}}=- \frac{24}{z_{0}^{5} - 5 z_{0}^{4} + 10 z_{0}^{3} - 10 z_{0}^{2} + 5 z_{0} - 1}$$

Multiply both sides by $$$z_{0}^{4}$$$:

$$\sum_{n=4}^{\infty} n z_{0}^{n} \left(n^{3} - 6 n^{2} + 11 n - 6\right)=- \frac{24 z_{0}^{4}}{z_{0}^{5} - 5 z_{0}^{4} + 10 z_{0}^{3} - 10 z_{0}^{2} + 5 z_{0} - 1}$$

Setting $$$z_{0}=\frac{1}{2}$$$, we get that

$$\sum_{n=4}^{\infty} 2^{- n} n \left(n - 3\right) \left(n - 2\right) \left(n - 1\right)=48$$

Therefore,

$$\frac{{\color{red}{\left(\sum_{n=4}^{\infty} 2^{- n} n \left(n - 3\right) \left(n - 2\right) \left(n - 1\right)\right)}}}{24}=\frac{{\color{red}{\left(48\right)}}}{24}$$

Hence,

$$\sum_{n=4}^{\infty} \frac{2^{- n} n!}{24 \left(n - 4\right)!}=2$$

Réponse

$$$\sum_{n=4}^{\infty} \frac{2^{- n} n!}{24 \left(n - 4\right)!} = 2$$$A

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