Racines rationnelles possibles et effectives de $$$f{\left(x \right)} = x^{3} - 31 x - 30$$$

Trouvez les racines rationnelles de $$$x^{3} - 31 x - 30 = 0$$$.

Puisque tous les coefficients sont des entiers, nous pouvons appliquer le théorème des racines rationnelles.

Le coefficient indépendant (le coefficient du terme constant) est $$$-30$$$.

Trouvez ses diviseurs (avec le signe plus et le signe moins) : $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$.

Voici les valeurs possibles de $$$p$$$.

Le coefficient dominant (le coefficient du terme de plus haut degré) est $$$1$$$.

Trouvez ses facteurs (avec les signes plus et moins) : $$$\pm 1$$$.

Voici les valeurs possibles de $$$q$$$.

Trouvez toutes les valeurs possibles de $$$\frac{p}{q}$$$ : $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{5}{1}$$$, $$$\pm \frac{6}{1}$$$, $$$\pm \frac{10}{1}$$$, $$$\pm \frac{15}{1}$$$, $$$\pm \frac{30}{1}$$$.

Simplifiez et supprimez les doublons (le cas échéant).

Voici les racines rationnelles possibles : $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$.

Ensuite, vérifiez les racines possibles : si $$$a$$$ est une racine du polynôme $$$P{\left(x \right)}$$$, le reste de la division de $$$P{\left(x \right)}$$$ par $$$x - a$$$ doit être égal à $$$0$$$ (d’après le théorème du reste, cela signifie que $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).

• Vérifiez $$$1$$$ : divisez $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ par $$$x - 1$$$.

  $$$P{\left(1 \right)} = -60$$$ ; ainsi, le reste est $$$-60$$$.

• Vérifiez $$$-1$$$ : divisez $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ par $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.

  $$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$ ; ainsi, le reste est $$$0$$$.

  Par conséquent, $$$-1$$$ est une racine.

• Vérifiez $$$2$$$ : divisez $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ par $$$x - 2$$$.

  $$$P{\left(2 \right)} = -84$$$ ; ainsi, le reste est $$$-84$$$.

• Vérifiez $$$-2$$$ : divisez $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ par $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.

  $$$P{\left(-2 \right)} = 24$$$ ; ainsi, le reste est $$$24$$$.

• Vérifiez $$$3$$$ : divisez $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ par $$$x - 3$$$.

  $$$P{\left(3 \right)} = -96$$$ ; ainsi, le reste est $$$-96$$$.

• Vérifiez $$$-3$$$ : divisez $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ par $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.

  $$$P{\left(-3 \right)} = 36$$$ ; ainsi, le reste est $$$36$$$.

• Vérifiez $$$5$$$ : divisez $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ par $$$x - 5$$$.

  $$$P{\left(5 \right)} = -60$$$ ; ainsi, le reste est $$$-60$$$.

• Vérifiez $$$-5$$$ : divisez $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ par $$$x - \left(-5\right) = x + 5$$$.

  $$$P{\left(-5 \right)} = 0$$$ ; ainsi, le reste est $$$0$$$.

  Par conséquent, $$$-5$$$ est une racine.

• Vérifiez $$$6$$$ : divisez $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ par $$$x - 6$$$.

  $$$P{\left(6 \right)} = 0$$$ ; ainsi, le reste est $$$0$$$.

  Par conséquent, $$$6$$$ est une racine.

• Vérifiez $$$-6$$$ : divisez $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ par $$$x - \left(-6\right) = x + 6$$$.

  $$$P{\left(-6 \right)} = -60$$$ ; ainsi, le reste est $$$-60$$$.

• Vérifiez $$$10$$$ : divisez $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ par $$$x - 10$$$.

  $$$P{\left(10 \right)} = 660$$$ ; ainsi, le reste est $$$660$$$.

• Vérifiez $$$-10$$$ : divisez $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ par $$$x - \left(-10\right) = x + 10$$$.

  $$$P{\left(-10 \right)} = -720$$$ ; ainsi, le reste est $$$-720$$$.

• Vérifiez $$$15$$$ : divisez $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ par $$$x - 15$$$.

  $$$P{\left(15 \right)} = 2880$$$ ; ainsi, le reste est $$$2880$$$.

• Vérifiez $$$-15$$$ : divisez $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ par $$$x - \left(-15\right) = x + 15$$$.

  $$$P{\left(-15 \right)} = -2940$$$ ; ainsi, le reste est $$$-2940$$$.

• Vérifiez $$$30$$$ : divisez $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ par $$$x - 30$$$.

  $$$P{\left(30 \right)} = 26040$$$ ; ainsi, le reste est $$$26040$$$.

• Vérifiez $$$-30$$$ : divisez $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ par $$$x - \left(-30\right) = x + 30$$$.

  $$$P{\left(-30 \right)} = -26100$$$ ; ainsi, le reste est $$$-26100$$$.

Racines rationnelles possibles : $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$A.

Racines rationnelles effectives : $$$-1$$$, $$$-5$$$, $$$6$$$A.