Racines rationnelles possibles et effectives de $$$f{\left(x \right)} = x^{6} - 64$$$
Votre saisie
Trouvez les racines rationnelles de $$$x^{6} - 64 = 0$$$.
Solution
Puisque tous les coefficients sont des entiers, nous pouvons appliquer le théorème des racines rationnelles.
Le coefficient indépendant (le coefficient du terme constant) est $$$-64$$$.
Trouvez ses diviseurs (avec le signe plus et le signe moins) : $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 8$$$, $$$\pm 16$$$, $$$\pm 32$$$, $$$\pm 64$$$.
Voici les valeurs possibles de $$$p$$$.
Le coefficient dominant (le coefficient du terme de plus haut degré) est $$$1$$$.
Trouvez ses facteurs (avec les signes plus et moins) : $$$\pm 1$$$.
Voici les valeurs possibles de $$$q$$$.
Trouvez toutes les valeurs possibles de $$$\frac{p}{q}$$$ : $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{4}{1}$$$, $$$\pm \frac{8}{1}$$$, $$$\pm \frac{16}{1}$$$, $$$\pm \frac{32}{1}$$$, $$$\pm \frac{64}{1}$$$.
Simplifiez et supprimez les doublons (le cas échéant).
Voici les racines rationnelles possibles : $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 8$$$, $$$\pm 16$$$, $$$\pm 32$$$, $$$\pm 64$$$.
Ensuite, vérifiez les racines possibles : si $$$a$$$ est une racine du polynôme $$$P{\left(x \right)}$$$, le reste de la division de $$$P{\left(x \right)}$$$ par $$$x - a$$$ doit être égal à $$$0$$$ (d’après le théorème du reste, cela signifie que $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Vérifiez $$$1$$$ : divisez $$$x^{6} - 64$$$ par $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = -63$$$ ; ainsi, le reste est $$$-63$$$.
Vérifiez $$$-1$$$ : divisez $$$x^{6} - 64$$$ par $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = -63$$$ ; ainsi, le reste est $$$-63$$$.
Vérifiez $$$2$$$ : divisez $$$x^{6} - 64$$$ par $$$x - 2$$$.
$$$P{\left(2 \right)} = 0$$$ ; ainsi, le reste est $$$0$$$.
Par conséquent, $$$2$$$ est une racine.
Vérifiez $$$-2$$$ : divisez $$$x^{6} - 64$$$ par $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.
$$$P{\left(-2 \right)} = 0$$$ ; ainsi, le reste est $$$0$$$.
Par conséquent, $$$-2$$$ est une racine.
Vérifiez $$$4$$$ : divisez $$$x^{6} - 64$$$ par $$$x - 4$$$.
$$$P{\left(4 \right)} = 4032$$$ ; ainsi, le reste est $$$4032$$$.
Vérifiez $$$-4$$$ : divisez $$$x^{6} - 64$$$ par $$$x - \left(-4\right) = x + 4$$$.
$$$P{\left(-4 \right)} = 4032$$$ ; ainsi, le reste est $$$4032$$$.
Vérifiez $$$8$$$ : divisez $$$x^{6} - 64$$$ par $$$x - 8$$$.
$$$P{\left(8 \right)} = 262080$$$ ; ainsi, le reste est $$$262080$$$.
Vérifiez $$$-8$$$ : divisez $$$x^{6} - 64$$$ par $$$x - \left(-8\right) = x + 8$$$.
$$$P{\left(-8 \right)} = 262080$$$ ; ainsi, le reste est $$$262080$$$.
Vérifiez $$$16$$$ : divisez $$$x^{6} - 64$$$ par $$$x - 16$$$.
$$$P{\left(16 \right)} = 16777152$$$ ; ainsi, le reste est $$$16777152$$$.
Vérifiez $$$-16$$$ : divisez $$$x^{6} - 64$$$ par $$$x - \left(-16\right) = x + 16$$$.
$$$P{\left(-16 \right)} = 16777152$$$ ; ainsi, le reste est $$$16777152$$$.
Vérifiez $$$32$$$ : divisez $$$x^{6} - 64$$$ par $$$x - 32$$$.
$$$P{\left(32 \right)} = 1073741760$$$ ; ainsi, le reste est $$$1073741760$$$.
Vérifiez $$$-32$$$ : divisez $$$x^{6} - 64$$$ par $$$x - \left(-32\right) = x + 32$$$.
$$$P{\left(-32 \right)} = 1073741760$$$ ; ainsi, le reste est $$$1073741760$$$.
Vérifiez $$$64$$$ : divisez $$$x^{6} - 64$$$ par $$$x - 64$$$.
$$$P{\left(64 \right)} = 68719476672$$$ ; ainsi, le reste est $$$68719476672$$$.
Vérifiez $$$-64$$$ : divisez $$$x^{6} - 64$$$ par $$$x - \left(-64\right) = x + 64$$$.
$$$P{\left(-64 \right)} = 68719476672$$$ ; ainsi, le reste est $$$68719476672$$$.
Réponse
Racines rationnelles possibles : $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 8$$$, $$$\pm 16$$$, $$$\pm 32$$$, $$$\pm 64$$$A.
Racines rationnelles effectives : $$$2$$$, $$$-2$$$A.