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Racines rationnelles possibles et effectives de $$$f{\left(x \right)} = x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$
Votre saisie
Trouvez les racines rationnelles de $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49 = 0$$$.
Solution
Puisque tous les coefficients sont des entiers, nous pouvons appliquer le théorème des racines rationnelles.
Le coefficient indépendant (le coefficient du terme constant) est $$$-49$$$.
Trouvez ses diviseurs (avec le signe plus et le signe moins) : $$$\pm 1$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 49$$$.
Voici les valeurs possibles de $$$p$$$.
Le coefficient dominant (le coefficient du terme de plus haut degré) est $$$1$$$.
Trouvez ses facteurs (avec les signes plus et moins) : $$$\pm 1$$$.
Voici les valeurs possibles de $$$q$$$.
Trouvez toutes les valeurs possibles de $$$\frac{p}{q}$$$ : $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{7}{1}$$$, $$$\pm \frac{49}{1}$$$.
Simplifiez et supprimez les doublons (le cas échéant).
Voici les racines rationnelles possibles : $$$\pm 1$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 49$$$.
Ensuite, vérifiez les racines possibles : si $$$a$$$ est une racine du polynôme $$$P{\left(x \right)}$$$, le reste de la division de $$$P{\left(x \right)}$$$ par $$$x - a$$$ doit être égal à $$$0$$$ (d’après le théorème du reste, cela signifie que $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Vérifiez $$$1$$$ : divisez $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ par $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = -96$$$ ; ainsi, le reste est $$$-96$$$.
Vérifiez $$$-1$$$ : divisez $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ par $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = -96$$$ ; ainsi, le reste est $$$-96$$$.
Vérifiez $$$7$$$ : divisez $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ par $$$x - 7$$$.
$$$P{\left(7 \right)} = 0$$$ ; ainsi, le reste est $$$0$$$.
Par conséquent, $$$7$$$ est une racine.
Vérifiez $$$-7$$$ : divisez $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ par $$$x - \left(-7\right) = x + 7$$$.
$$$P{\left(-7 \right)} = 0$$$ ; ainsi, le reste est $$$0$$$.
Par conséquent, $$$-7$$$ est une racine.
Vérifiez $$$49$$$ : divisez $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ par $$$x - 49$$$.
$$$P{\left(49 \right)} = 5649504$$$ ; ainsi, le reste est $$$5649504$$$.
Vérifiez $$$-49$$$ : divisez $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ par $$$x - \left(-49\right) = x + 49$$$.
$$$P{\left(-49 \right)} = 5649504$$$ ; ainsi, le reste est $$$5649504$$$.
Réponse
Racines rationnelles possibles : $$$\pm 1$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 49$$$A.
Racines rationnelles effectives : $$$7$$$, $$$-7$$$A.