Racines rationnelles possibles et effectives de $$$f{\left(x \right)} = 4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$
Votre saisie
Trouvez les racines rationnelles de $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9 = 0$$$.
Solution
Puisque tous les coefficients sont des entiers, nous pouvons appliquer le théorème des racines rationnelles.
Le coefficient indépendant (le coefficient du terme constant) est $$$9$$$.
Trouvez ses diviseurs (avec le signe plus et le signe moins) : $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$.
Voici les valeurs possibles de $$$p$$$.
Le coefficient dominant (le coefficient du terme de plus haut degré) est $$$4$$$.
Trouvez ses facteurs (avec les signes plus et moins) : $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$.
Voici les valeurs possibles de $$$q$$$.
Trouvez toutes les valeurs possibles de $$$\frac{p}{q}$$$ : $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{1}{4}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{4}$$$, $$$\pm \frac{9}{1}$$$, $$$\pm \frac{9}{2}$$$, $$$\pm \frac{9}{4}$$$.
Simplifiez et supprimez les doublons (le cas échéant).
Voici les racines rationnelles possibles : $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{1}{4}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{4}$$$, $$$\pm 9$$$, $$$\pm \frac{9}{2}$$$, $$$\pm \frac{9}{4}$$$.
Ensuite, vérifiez les racines possibles : si $$$a$$$ est une racine du polynôme $$$P{\left(x \right)}$$$, le reste de la division de $$$P{\left(x \right)}$$$ par $$$x - a$$$ doit être égal à $$$0$$$ (d’après le théorème du reste, cela signifie que $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Vérifiez $$$1$$$ : divisez $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ par $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = -24$$$ ; ainsi, le reste est $$$-24$$$.
Vérifiez $$$-1$$$ : divisez $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ par $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = -24$$$ ; ainsi, le reste est $$$-24$$$.
Vérifiez $$$\frac{1}{2}$$$ : divisez $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ par $$$x - \frac{1}{2}$$$.
$$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = 0$$$ ; ainsi, le reste est $$$0$$$.
Par conséquent, $$$\frac{1}{2}$$$ est une racine.
Vérifiez $$$- \frac{1}{2}$$$ : divisez $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ par $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$.
$$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = 0$$$ ; ainsi, le reste est $$$0$$$.
Par conséquent, $$$- \frac{1}{2}$$$ est une racine.
Vérifiez $$$\frac{1}{4}$$$ : divisez $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ par $$$x - \frac{1}{4}$$$.
$$$P{\left(\frac{1}{4} \right)} = \frac{429}{64}$$$ ; ainsi, le reste est $$$\frac{429}{64}$$$.
Vérifiez $$$- \frac{1}{4}$$$ : divisez $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ par $$$x - \left(- \frac{1}{4}\right) = x + \frac{1}{4}$$$.
$$$P{\left(- \frac{1}{4} \right)} = \frac{429}{64}$$$ ; ainsi, le reste est $$$\frac{429}{64}$$$.
Vérifiez $$$3$$$ : divisez $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ par $$$x - 3$$$.
$$$P{\left(3 \right)} = 0$$$ ; ainsi, le reste est $$$0$$$.
Par conséquent, $$$3$$$ est une racine.
Vérifiez $$$-3$$$ : divisez $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ par $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.
$$$P{\left(-3 \right)} = 0$$$ ; ainsi, le reste est $$$0$$$.
Par conséquent, $$$-3$$$ est une racine.
Vérifiez $$$\frac{3}{2}$$$ : divisez $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ par $$$x - \frac{3}{2}$$$.
$$$P{\left(\frac{3}{2} \right)} = -54$$$ ; ainsi, le reste est $$$-54$$$.
Vérifiez $$$- \frac{3}{2}$$$ : divisez $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ par $$$x - \left(- \frac{3}{2}\right) = x + \frac{3}{2}$$$.
$$$P{\left(- \frac{3}{2} \right)} = -54$$$ ; ainsi, le reste est $$$-54$$$.
Vérifiez $$$\frac{3}{4}$$$ : divisez $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ par $$$x - \frac{3}{4}$$$.
$$$P{\left(\frac{3}{4} \right)} = - \frac{675}{64}$$$ ; ainsi, le reste est $$$- \frac{675}{64}$$$.
Vérifiez $$$- \frac{3}{4}$$$ : divisez $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ par $$$x - \left(- \frac{3}{4}\right) = x + \frac{3}{4}$$$.
$$$P{\left(- \frac{3}{4} \right)} = - \frac{675}{64}$$$ ; ainsi, le reste est $$$- \frac{675}{64}$$$.
Vérifiez $$$9$$$ : divisez $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ par $$$x - 9$$$.
$$$P{\left(9 \right)} = 23256$$$ ; ainsi, le reste est $$$23256$$$.
Vérifiez $$$-9$$$ : divisez $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ par $$$x - \left(-9\right) = x + 9$$$.
$$$P{\left(-9 \right)} = 23256$$$ ; ainsi, le reste est $$$23256$$$.
Vérifiez $$$\frac{9}{2}$$$ : divisez $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ par $$$x - \frac{9}{2}$$$.
$$$P{\left(\frac{9}{2} \right)} = 900$$$ ; ainsi, le reste est $$$900$$$.
Vérifiez $$$- \frac{9}{2}$$$ : divisez $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ par $$$x - \left(- \frac{9}{2}\right) = x + \frac{9}{2}$$$.
$$$P{\left(- \frac{9}{2} \right)} = 900$$$ ; ainsi, le reste est $$$900$$$.
Vérifiez $$$\frac{9}{4}$$$ : divisez $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ par $$$x - \frac{9}{4}$$$.
$$$P{\left(\frac{9}{4} \right)} = - \frac{4851}{64}$$$ ; ainsi, le reste est $$$- \frac{4851}{64}$$$.
Vérifiez $$$- \frac{9}{4}$$$ : divisez $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ par $$$x - \left(- \frac{9}{4}\right) = x + \frac{9}{4}$$$.
$$$P{\left(- \frac{9}{4} \right)} = - \frac{4851}{64}$$$ ; ainsi, le reste est $$$- \frac{4851}{64}$$$.
Réponse
Racines rationnelles possibles : $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{1}{4}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{4}$$$, $$$\pm 9$$$, $$$\pm \frac{9}{2}$$$, $$$\pm \frac{9}{4}$$$A.
Racines rationnelles effectives : $$$\frac{1}{2}$$$, $$$- \frac{1}{2}$$$, $$$3$$$, $$$-3$$$A.