Calculatrice du théorème des zéros rationnels

La calculatrice trouvera toutes les racines rationnelles possibles du polynôme en utilisant le théorème des zéros rationnels. Après cela, il décidera quelles racines possibles sont réellement les racines. Il s'agit d'un cas plus général du théorème racine entier (intégral) (lorsque le coefficient dominant est $$$1$$$ ou $$$-1$$$). Des marches sont disponibles.

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Trouvez les zéros rationnels du $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7 = 0$$$.

Solution

Puisque tous les coefficients sont des nombres entiers, nous pouvons appliquer le théorème des zéros rationnels.

Le coefficient de fuite (le coefficient du terme constant) est $$$7$$$.

Trouvez ses facteurs (avec le signe plus et le signe moins): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 7$$$.

Ce sont les valeurs possibles pour $$$p$$$.

Le coefficient dominant (le coefficient du terme de degré le plus élevé) est $$$2$$$.

Trouvez ses facteurs (avec le signe plus et le signe moins) : $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$.

Ce sont les valeurs possibles pour $$$q$$$.

Trouvez toutes les valeurs possibles de $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{7}{1}$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$.

Simplifiez et supprimez les doublons (le cas échéant).

Ce sont les racines rationnelles possibles : les $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$.

Ensuite, vérifiez les racines possibles : si $$$a$$$ est une racine du polynôme $$$P{\left(x \right)}$$$, le reste de la division de $$$P{\left(x \right)}$$$ par $$$x - a$$$ doit être égal à $$$0$$$ (selon le théorème du reste, cela signifie que l' $$$P{\left(a \right)} = 0$$$ ).

  • Vérifiez la $$$1$$$: divisez $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ par $$$x - 1$$$.

    $$$P{\left(1 \right)} = -12$$$ ; ainsi, le reste est $$$-12$$$.

  • Vérifiez la $$$-1$$$: divisez $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ par $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.

    $$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$ ; ainsi, le reste est $$$0$$$.

    Par conséquent, la $$$-1$$$ est une racine.

  • Vérifiez la $$$\frac{1}{2}$$$: divisez $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ par $$$x - \frac{1}{2}$$$.

    $$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = 0$$$ ; ainsi, le reste est $$$0$$$.

    Par conséquent, la $$$\frac{1}{2}$$$ est une racine.

  • Vérifiez la $$$- \frac{1}{2}$$$: divisez $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ par $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$.

    $$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = \frac{27}{4}$$$ ; ainsi, le reste est $$$\frac{27}{4}$$$.

  • Vérifiez la $$$7$$$: divisez $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ par $$$x - 7$$$.

    $$$P{\left(7 \right)} = 4368$$$ ; ainsi, le reste est $$$4368$$$.

  • Vérifiez la $$$-7$$$: divisez $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ par $$$x - \left(-7\right) = x + 7$$$.

    $$$P{\left(-7 \right)} = 3780$$$ ; ainsi, le reste est $$$3780$$$.

  • Vérifiez la $$$\frac{7}{2}$$$: divisez $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ par $$$x - \frac{7}{2}$$$.

    $$$P{\left(\frac{7}{2} \right)} = \frac{567}{4}$$$ ; ainsi, le reste est $$$\frac{567}{4}$$$.

  • Vérifiez la $$$- \frac{7}{2}$$$: divisez $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ par $$$x - \left(- \frac{7}{2}\right) = x + \frac{7}{2}$$$.

    $$$P{\left(- \frac{7}{2} \right)} = 105$$$ ; ainsi, le reste est $$$105$$$.

Réponse

Racines rationnelles possibles : $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$A.

Racines rationnelles réelles : $$$-1$$$, $$$\frac{1}{2}$$$A.