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Calculatrice du théorème des racines rationnelles

Trouver toutes les racines rationnelles possibles des polynômes étape par étape

La calculatrice trouvera toutes les racines rationnelles possibles du polynôme à l'aide du théorème des racines rationnelles. Ensuite, elle déterminera lesquelles de ces racines possibles sont effectivement des racines. Il s'agit d'un cas plus général du théorème des racines entières (lorsque le coefficient dominant est $$$1$$$ ou $$$-1$$$). Les étapes sont disponibles.

Si le calculateur n'a pas pu calculer quelque chose, si vous avez identifié une erreur, ou si vous avez une suggestion ou un commentaire, veuillez nous contacter.

Votre saisie

Trouvez les racines rationnelles de $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7 = 0$$$.

Solution

Puisque tous les coefficients sont des entiers, nous pouvons appliquer le théorème des racines rationnelles.

Le coefficient indépendant (le coefficient du terme constant) est $$$7$$$.

Trouvez ses diviseurs (avec le signe plus et le signe moins) : $$$\pm 1$$$, $$$\pm 7$$$.

Voici les valeurs possibles de $$$p$$$.

Le coefficient dominant (le coefficient du terme de plus haut degré) est $$$2$$$.

Trouvez ses facteurs (avec les signes plus et moins) : $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$.

Voici les valeurs possibles de $$$q$$$.

Trouvez toutes les valeurs possibles de $$$\frac{p}{q}$$$ : $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{7}{1}$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$.

Simplifiez et supprimez les doublons (le cas échéant).

Voici les racines rationnelles possibles : $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$.

Ensuite, vérifiez les racines possibles : si $$$a$$$ est une racine du polynôme $$$P{\left(x \right)}$$$, le reste de la division de $$$P{\left(x \right)}$$$ par $$$x - a$$$ doit être égal à $$$0$$$ (d’après le théorème du reste, cela signifie que $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).

  • Vérifiez $$$1$$$ : divisez $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ par $$$x - 1$$$.

    $$$P{\left(1 \right)} = -12$$$ ; ainsi, le reste est $$$-12$$$.

  • Vérifiez $$$-1$$$ : divisez $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ par $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.

    $$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$ ; ainsi, le reste est $$$0$$$.

    Par conséquent, $$$-1$$$ est une racine.

  • Vérifiez $$$\frac{1}{2}$$$ : divisez $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ par $$$x - \frac{1}{2}$$$.

    $$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = 0$$$ ; ainsi, le reste est $$$0$$$.

    Par conséquent, $$$\frac{1}{2}$$$ est une racine.

  • Vérifiez $$$- \frac{1}{2}$$$ : divisez $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ par $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$.

    $$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = \frac{27}{4}$$$ ; ainsi, le reste est $$$\frac{27}{4}$$$.

  • Vérifiez $$$7$$$ : divisez $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ par $$$x - 7$$$.

    $$$P{\left(7 \right)} = 4368$$$ ; ainsi, le reste est $$$4368$$$.

  • Vérifiez $$$-7$$$ : divisez $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ par $$$x - \left(-7\right) = x + 7$$$.

    $$$P{\left(-7 \right)} = 3780$$$ ; ainsi, le reste est $$$3780$$$.

  • Vérifiez $$$\frac{7}{2}$$$ : divisez $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ par $$$x - \frac{7}{2}$$$.

    $$$P{\left(\frac{7}{2} \right)} = \frac{567}{4}$$$ ; ainsi, le reste est $$$\frac{567}{4}$$$.

  • Vérifiez $$$- \frac{7}{2}$$$ : divisez $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ par $$$x - \left(- \frac{7}{2}\right) = x + \frac{7}{2}$$$.

    $$$P{\left(- \frac{7}{2} \right)} = 105$$$ ; ainsi, le reste est $$$105$$$.

Réponse

Racines rationnelles possibles : $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$A.

Racines rationnelles effectives : $$$-1$$$, $$$\frac{1}{2}$$$A.