Diviser $$$x^{4}$$$ par $$$x - 1$$$

Saisissez le problème au format spécial (les termes manquants sont écrits avec des coefficients nuls) :

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x-1&x^{4}+0 x^{3}+0 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

Étape 1

Divisez le terme de plus haut degré du dividende par le terme de plus haut degré du diviseur : $$$\frac{x^{4}}{x} = x^{3}$$$.

Inscrivez le résultat calculé dans la partie supérieure du tableau.

Multipliez-le par le diviseur : $$$x^{3} \left(x-1\right) = x^{4}- x^{3}$$$.

Soustrayez le dividende du résultat obtenu: $$$\left(x^{4}\right) - \left(x^{4}- x^{3}\right) = x^{3}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{GoldenRod}x^{3}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&{\color{GoldenRod}x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{GoldenRod}x^{4}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{GoldenRod}x^{3}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- x^{3}&&&&{\color{GoldenRod}x^{3}} \left(x-1\right) = x^{4}- x^{3}\\\hline\\&&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

Étape 2

Divisez le terme dominant du reste obtenu par le terme dominant du diviseur : $$$\frac{x^{3}}{x} = x^{2}$$$.

Inscrivez le résultat calculé dans la partie supérieure du tableau.

Multipliez-le par le diviseur : $$$x^{2} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}$$$.

Soustrayez le reste du résultat obtenu : $$$\left(x^{3}\right) - \left(x^{3}- x^{2}\right) = x^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&x^{3}&{\color{Fuchsia}+x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- x^{3}&&&&\\\hline\\&&{\color{Fuchsia}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Fuchsia}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Fuchsia}x^{2}}\\&&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&&x^{3}&- x^{2}&&&{\color{Fuchsia}x^{2}} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}\\\hline\\&&&x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

Étape 3

Divisez le terme dominant du reste obtenu par le terme dominant du diviseur : $$$\frac{x^{2}}{x} = x$$$.

Inscrivez le résultat calculé dans la partie supérieure du tableau.

Multipliez-le par le diviseur : $$$x \left(x-1\right) = x^{2}- x$$$.

Soustrayez le reste du résultat obtenu : $$$\left(x^{2}\right) - \left(x^{2}- x\right) = x$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&x^{3}&+x^{2}&{\color{Red}+x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- x^{3}&&&&\\\hline\\&&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&&x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{Red}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{Red}x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Red}x}\\&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&x^{2}&- x&&{\color{Red}x} \left(x-1\right) = x^{2}- x\\\hline\\&&&&x&+0&\end{array}$$

Étape 4

Divisez le terme dominant du reste obtenu par le terme dominant du diviseur : $$$\frac{x}{x} = 1$$$.

Inscrivez le résultat calculé dans la partie supérieure du tableau.

Multipliez-le par le diviseur : $$$1 \left(x-1\right) = x-1$$$.

Soustrayez le reste du résultat obtenu : $$$\left(x\right) - \left(x-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&x^{3}&+x^{2}&+x&{\color{Green}+1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- x^{3}&&&&\\\hline\\&&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&&x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&&x^{2}&+0 x&+0&\\&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&x^{2}&- x&&\\\hline\\&&&&{\color{Green}x}&+0&\frac{{\color{Green}x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Green}1}\\&&&&-\phantom{x}&&\\&&&&x&-1&{\color{Green}1} \left(x-1\right) = x-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Comme le degré du reste est inférieur à celui du diviseur, la division est terminée.

Le tableau résultant est affiché à nouveau :

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{GoldenRod}x^{3}}&{\color{Fuchsia}+x^{2}}&{\color{Red}+x}&{\color{Green}+1}&&\text{Indications}\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&{\color{GoldenRod}x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{GoldenRod}x^{4}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{GoldenRod}x^{3}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- x^{3}&&&&{\color{GoldenRod}x^{3}} \left(x-1\right) = x^{4}- x^{3}\\\hline\\&&{\color{Fuchsia}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Fuchsia}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Fuchsia}x^{2}}\\&&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&&x^{3}&- x^{2}&&&{\color{Fuchsia}x^{2}} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}\\\hline\\&&&{\color{Red}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{Red}x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Red}x}\\&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&x^{2}&- x&&{\color{Red}x} \left(x-1\right) = x^{2}- x\\\hline\\&&&&{\color{Green}x}&+0&\frac{{\color{Green}x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Green}1}\\&&&&-\phantom{x}&&\\&&&&x&-1&{\color{Green}1} \left(x-1\right) = x-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Donc, $$$\frac{x^{4}}{x - 1} = \left(x^{3} + x^{2} + x + 1\right) + \frac{1}{x - 1}$$$.