Diviser $$$x^{3} + 7 x^{2} + 1$$$ par $$$x - 1$$$

Saisissez le problème au format spécial (les termes manquants sont écrits avec des coefficients nuls) :

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x-1&x^{3}+7 x^{2}+0 x+1\end{array}$$$

Étape 1

Divisez le terme de plus haut degré du dividende par le terme de plus haut degré du diviseur : $$$\frac{x^{3}}{x} = x^{2}$$$.

Inscrivez le résultat calculé dans la partie supérieure du tableau.

Multipliez-le par le diviseur : $$$x^{2} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}$$$.

Soustrayez le dividende du résultat obtenu: $$$\left(x^{3}+7 x^{2}+1\right) - \left(x^{3}- x^{2}\right) = 8 x^{2}+1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Violet}x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&{\color{Violet}x^{3}}&+7 x^{2}&+0 x&+1&\frac{{\color{Violet}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Violet}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&{\color{Violet}x^{2}} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}\\\hline\\&&8 x^{2}&+0 x&+1&\end{array}$$

Étape 2

Divisez le terme dominant du reste obtenu par le terme dominant du diviseur : $$$\frac{8 x^{2}}{x} = 8 x$$$.

Inscrivez le résultat calculé dans la partie supérieure du tableau.

Multipliez-le par le diviseur : $$$8 x \left(x-1\right) = 8 x^{2}- 8 x$$$.

Soustrayez le reste du résultat obtenu : $$$\left(8 x^{2}+1\right) - \left(8 x^{2}- 8 x\right) = 8 x+1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&{\color{GoldenRod}+8 x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{3}&+7 x^{2}&+0 x&+1&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{GoldenRod}8 x^{2}}&+0 x&+1&\frac{{\color{GoldenRod}8 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{GoldenRod}8 x}\\&&-\phantom{8 x^{2}}&&&\\&&8 x^{2}&- 8 x&&{\color{GoldenRod}8 x} \left(x-1\right) = 8 x^{2}- 8 x\\\hline\\&&&8 x&+1&\end{array}$$

Étape 3

Divisez le terme dominant du reste obtenu par le terme dominant du diviseur : $$$\frac{8 x}{x} = 8$$$.

Inscrivez le résultat calculé dans la partie supérieure du tableau.

Multipliez-le par le diviseur : $$$8 \left(x-1\right) = 8 x-8$$$.

Soustrayez le reste du résultat obtenu : $$$\left(8 x+1\right) - \left(8 x-8\right) = 9$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&+8 x&{\color{Purple}+8}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{3}&+7 x^{2}&+0 x&+1&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&8 x^{2}&+0 x&+1&\\&&-\phantom{8 x^{2}}&&&\\&&8 x^{2}&- 8 x&&\\\hline\\&&&{\color{Purple}8 x}&+1&\frac{{\color{Purple}8 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Purple}8}\\&&&-\phantom{8 x}&&\\&&&8 x&-8&{\color{Purple}8} \left(x-1\right) = 8 x-8\\\hline\\&&&&9&\end{array}$$

Comme le degré du reste est inférieur à celui du diviseur, la division est terminée.

Le tableau résultant est affiché à nouveau :

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Violet}x^{2}}&{\color{GoldenRod}+8 x}&{\color{Purple}+8}&&\text{Indications}\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&{\color{Violet}x^{3}}&+7 x^{2}&+0 x&+1&\frac{{\color{Violet}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Violet}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&{\color{Violet}x^{2}} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}\\\hline\\&&{\color{GoldenRod}8 x^{2}}&+0 x&+1&\frac{{\color{GoldenRod}8 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{GoldenRod}8 x}\\&&-\phantom{8 x^{2}}&&&\\&&8 x^{2}&- 8 x&&{\color{GoldenRod}8 x} \left(x-1\right) = 8 x^{2}- 8 x\\\hline\\&&&{\color{Purple}8 x}&+1&\frac{{\color{Purple}8 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Purple}8}\\&&&-\phantom{8 x}&&\\&&&8 x&-8&{\color{Purple}8} \left(x-1\right) = 8 x-8\\\hline\\&&&&9&\end{array}$$

Donc, $$$\frac{x^{3} + 7 x^{2} + 1}{x - 1} = \left(x^{2} + 8 x + 8\right) + \frac{9}{x - 1}$$$.