Diviser $$$x^{3}$$$ par $$$x - 1$$$

Saisissez le problème au format spécial (les termes manquants sont écrits avec des coefficients nuls) :

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x-1&x^{3}+0 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

Étape 1

Divisez le terme de plus haut degré du dividende par le terme de plus haut degré du diviseur : $$$\frac{x^{3}}{x} = x^{2}$$$.

Inscrivez le résultat calculé dans la partie supérieure du tableau.

Multipliez-le par le diviseur : $$$x^{2} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}$$$.

Soustrayez le dividende du résultat obtenu: $$$\left(x^{3}\right) - \left(x^{3}- x^{2}\right) = x^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Brown}x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&{\color{Brown}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Brown}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Brown}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&{\color{Brown}x^{2}} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}\\\hline\\&&x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

Étape 2

Divisez le terme dominant du reste obtenu par le terme dominant du diviseur : $$$\frac{x^{2}}{x} = x$$$.

Inscrivez le résultat calculé dans la partie supérieure du tableau.

Multipliez-le par le diviseur : $$$x \left(x-1\right) = x^{2}- x$$$.

Soustrayez le reste du résultat obtenu : $$$\left(x^{2}\right) - \left(x^{2}- x\right) = x$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&{\color{DarkCyan}+x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{DarkCyan}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{DarkCyan}x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkCyan}x}\\&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&x^{2}&- x&&{\color{DarkCyan}x} \left(x-1\right) = x^{2}- x\\\hline\\&&&x&+0&\end{array}$$

Étape 3

Divisez le terme dominant du reste obtenu par le terme dominant du diviseur : $$$\frac{x}{x} = 1$$$.

Inscrivez le résultat calculé dans la partie supérieure du tableau.

Multipliez-le par le diviseur : $$$1 \left(x-1\right) = x-1$$$.

Soustrayez le reste du résultat obtenu : $$$\left(x\right) - \left(x-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&+x&{\color{DeepPink}+1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&x^{2}&+0 x&+0&\\&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&x^{2}&- x&&\\\hline\\&&&{\color{DeepPink}x}&+0&\frac{{\color{DeepPink}x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DeepPink}1}\\&&&-\phantom{x}&&\\&&&x&-1&{\color{DeepPink}1} \left(x-1\right) = x-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Comme le degré du reste est inférieur à celui du diviseur, la division est terminée.

Le tableau résultant est affiché à nouveau :

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Brown}x^{2}}&{\color{DarkCyan}+x}&{\color{DeepPink}+1}&&\text{Indications}\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&{\color{Brown}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Brown}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Brown}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&{\color{Brown}x^{2}} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}\\\hline\\&&{\color{DarkCyan}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{DarkCyan}x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkCyan}x}\\&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&x^{2}&- x&&{\color{DarkCyan}x} \left(x-1\right) = x^{2}- x\\\hline\\&&&{\color{DeepPink}x}&+0&\frac{{\color{DeepPink}x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DeepPink}1}\\&&&-\phantom{x}&&\\&&&x&-1&{\color{DeepPink}1} \left(x-1\right) = x-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Donc, $$$\frac{x^{3}}{x - 1} = \left(x^{2} + x + 1\right) + \frac{1}{x - 1}$$$.