Diviser $$$x^{4}$$$ par $$$x^{2} - 1$$$

Saisissez le problème au format spécial (les termes manquants sont écrits avec des coefficients nuls) :

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x^{2}-1&x^{4}+0 x^{3}+0 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

Étape 1

Divisez le terme de plus haut degré du dividende par le terme de plus haut degré du diviseur : $$$\frac{x^{4}}{x^{2}} = x^{2}$$$.

Inscrivez le résultat calculé dans la partie supérieure du tableau.

Multipliez-le par le diviseur : $$$x^{2} \left(x^{2}-1\right) = x^{4}- x^{2}$$$.

Soustrayez le dividende du résultat obtenu: $$$\left(x^{4}\right) - \left(x^{4}- x^{2}\right) = x^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{SaddleBrown}x^{2}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}-1&{\color{SaddleBrown}x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{SaddleBrown}x^{2}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&{\color{SaddleBrown}x^{2}} \left(x^{2}-1\right) = x^{4}- x^{2}\\\hline\\&&&x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

Étape 2

Divisez le terme dominant du reste obtenu par le terme dominant du diviseur : $$$\frac{x^{2}}{x^{2}} = 1$$$.

Inscrivez le résultat calculé dans la partie supérieure du tableau.

Multipliez-le par le diviseur : $$$1 \left(x^{2}-1\right) = x^{2}-1$$$.

Soustrayez le reste du résultat obtenu : $$$\left(x^{2}\right) - \left(x^{2}-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&x^{2}&{\color{DarkBlue}+1}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}-1&x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{DarkBlue}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{DarkBlue}x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{DarkBlue}1}\\&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&x^{2}&+0 x&-1&{\color{DarkBlue}1} \left(x^{2}-1\right) = x^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Comme le degré du reste est inférieur à celui du diviseur, la division est terminée.

Le tableau résultant est affiché à nouveau :

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{SaddleBrown}x^{2}}&{\color{DarkBlue}+1}&&&&\text{Indications}\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}-1&{\color{SaddleBrown}x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{SaddleBrown}x^{2}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&{\color{SaddleBrown}x^{2}} \left(x^{2}-1\right) = x^{4}- x^{2}\\\hline\\&&&{\color{DarkBlue}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{DarkBlue}x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{DarkBlue}1}\\&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&x^{2}&+0 x&-1&{\color{DarkBlue}1} \left(x^{2}-1\right) = x^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Donc, $$$\frac{x^{4}}{x^{2} - 1} = \left(x^{2} + 1\right) + \frac{1}{x^{2} - 1}$$$.