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Diviser $$$x^{3} - 2 x^{2}$$$ par $$$x^{2} + 1$$$
Calculatrices associées: Calculatrice de division synthétique, Calculatrice de division posée
Votre saisie
Trouvez $$$\frac{x^{3} - 2 x^{2}}{x^{2} + 1}$$$ en utilisant la division longue.
Solution
Saisissez le problème au format spécial (les termes manquants sont écrits avec des coefficients nuls) :
$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x^{2}+1&x^{3}- 2 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$
Étape 1
Divisez le terme de plus haut degré du dividende par le terme de plus haut degré du diviseur : $$$\frac{x^{3}}{x^{2}} = x$$$.
Inscrivez le résultat calculé dans la partie supérieure du tableau.
Multipliez-le par le diviseur : $$$x \left(x^{2}+1\right) = x^{3}+x$$$.
Soustrayez le dividende du résultat obtenu: $$$\left(x^{3}- 2 x^{2}\right) - \left(x^{3}+x\right) = - 2 x^{2}- x$$$.
$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Fuchsia}x}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&{\color{Fuchsia}x^{3}}&- 2 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Fuchsia}x^{3}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Fuchsia}x}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&+0 x^{2}&+x&&{\color{Fuchsia}x} \left(x^{2}+1\right) = x^{3}+x\\\hline\\&&- 2 x^{2}&- x&+0&\end{array}$$Étape 2
Divisez le terme dominant du reste obtenu par le terme dominant du diviseur : $$$\frac{- 2 x^{2}}{x^{2}} = -2$$$.
Inscrivez le résultat calculé dans la partie supérieure du tableau.
Multipliez-le par le diviseur : $$$- 2 \left(x^{2}+1\right) = - 2 x^{2}-2$$$.
Soustrayez le reste du résultat obtenu : $$$\left(- 2 x^{2}- x\right) - \left(- 2 x^{2}-2\right) = - x+2$$$.
$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x&{\color{Red}-2}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&x^{3}&- 2 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&+0 x^{2}&+x&&\\\hline\\&&{\color{Red}- 2 x^{2}}&- x&+0&\frac{{\color{Red}- 2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Red}-2}\\&&-\phantom{- 2 x^{2}}&&&\\&&- 2 x^{2}&+0 x&-2&{\color{Red}-2} \left(x^{2}+1\right) = - 2 x^{2}-2\\\hline\\&&&- x&+2&\end{array}$$Comme le degré du reste est inférieur à celui du diviseur, la division est terminée.
Le tableau résultant est affiché à nouveau :
$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Fuchsia}x}&{\color{Red}-2}&&&\text{Indications}\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&{\color{Fuchsia}x^{3}}&- 2 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Fuchsia}x^{3}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Fuchsia}x}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&+0 x^{2}&+x&&{\color{Fuchsia}x} \left(x^{2}+1\right) = x^{3}+x\\\hline\\&&{\color{Red}- 2 x^{2}}&- x&+0&\frac{{\color{Red}- 2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Red}-2}\\&&-\phantom{- 2 x^{2}}&&&\\&&- 2 x^{2}&+0 x&-2&{\color{Red}-2} \left(x^{2}+1\right) = - 2 x^{2}-2\\\hline\\&&&- x&+2&\end{array}$$Donc, $$$\frac{x^{3} - 2 x^{2}}{x^{2} + 1} = \left(x - 2\right) + \frac{2 - x}{x^{2} + 1}$$$.
Réponse
$$$\frac{x^{3} - 2 x^{2}}{x^{2} + 1} = \left(x - 2\right) + \frac{2 - x}{x^{2} + 1}$$$A