Diviser $$$y^{3}$$$ par $$$1 - y$$$

Saisissez le problème au format spécial (les termes manquants sont écrits avec des coefficients nuls) :

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\- y+1&y^{3}+0 y^{2}+0 y+0\end{array}$$$

Étape 1

Divisez le terme de plus haut degré du dividende par le terme de plus haut degré du diviseur : $$$\frac{y^{3}}{- y} = - y^{2}$$$.

Inscrivez le résultat calculé dans la partie supérieure du tableau.

Multipliez-le par le diviseur : $$$- y^{2} \left(- y+1\right) = y^{3}- y^{2}$$$.

Soustrayez le dividende du résultat obtenu: $$$\left(y^{3}\right) - \left(y^{3}- y^{2}\right) = y^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Brown}- y^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&{\color{Brown}y^{3}}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\frac{{\color{Brown}y^{3}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Brown}- y^{2}}\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&{\color{Brown}- y^{2}} \left(- y+1\right) = y^{3}- y^{2}\\\hline\\&&y^{2}&+0 y&+0&\end{array}$$

Étape 2

Divisez le terme dominant du reste obtenu par le terme dominant du diviseur : $$$\frac{y^{2}}{- y} = - y$$$.

Inscrivez le résultat calculé dans la partie supérieure du tableau.

Multipliez-le par le diviseur : $$$- y \left(- y+1\right) = y^{2}- y$$$.

Soustrayez le reste du résultat obtenu : $$$\left(y^{2}\right) - \left(y^{2}- y\right) = y$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&- y^{2}&{\color{Purple}- y}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&y^{3}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{Purple}y^{2}}&+0 y&+0&\frac{{\color{Purple}y^{2}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Purple}- y}\\&&-\phantom{y^{2}}&&&\\&&y^{2}&- y&&{\color{Purple}- y} \left(- y+1\right) = y^{2}- y\\\hline\\&&&y&+0&\end{array}$$

Étape 3

Divisez le terme dominant du reste obtenu par le terme dominant du diviseur : $$$\frac{y}{- y} = -1$$$.

Inscrivez le résultat calculé dans la partie supérieure du tableau.

Multipliez-le par le diviseur : $$$- \left(- y+1\right) = y-1$$$.

Soustrayez le reste du résultat obtenu : $$$\left(y\right) - \left(y-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&- y^{2}&- y&{\color{BlueViolet}-1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&y^{3}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&\\\hline\\&&y^{2}&+0 y&+0&\\&&-\phantom{y^{2}}&&&\\&&y^{2}&- y&&\\\hline\\&&&{\color{BlueViolet}y}&+0&\frac{{\color{BlueViolet}y}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{BlueViolet}-1}\\&&&-\phantom{y}&&\\&&&y&-1&{\color{BlueViolet}-1} \left(- y+1\right) = y-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Comme le degré du reste est inférieur à celui du diviseur, la division est terminée.

Le tableau résultant est affiché à nouveau :

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Brown}- y^{2}}&{\color{Purple}- y}&{\color{BlueViolet}-1}&&\text{Indications}\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&{\color{Brown}y^{3}}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\frac{{\color{Brown}y^{3}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Brown}- y^{2}}\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&{\color{Brown}- y^{2}} \left(- y+1\right) = y^{3}- y^{2}\\\hline\\&&{\color{Purple}y^{2}}&+0 y&+0&\frac{{\color{Purple}y^{2}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Purple}- y}\\&&-\phantom{y^{2}}&&&\\&&y^{2}&- y&&{\color{Purple}- y} \left(- y+1\right) = y^{2}- y\\\hline\\&&&{\color{BlueViolet}y}&+0&\frac{{\color{BlueViolet}y}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{BlueViolet}-1}\\&&&-\phantom{y}&&\\&&&y&-1&{\color{BlueViolet}-1} \left(- y+1\right) = y-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Donc, $$$\frac{y^{3}}{1 - y} = \left(- y^{2} - y - 1\right) + \frac{1}{1 - y}$$$.