Diviser $$$v^{4}$$$ par $$$v^{2} + 1$$$

Saisissez le problème au format spécial (les termes manquants sont écrits avec des coefficients nuls) :

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\v^{2}+1&v^{4}+0 v^{3}+0 v^{2}+0 v+0\end{array}$$$

Étape 1

Divisez le terme de plus haut degré du dividende par le terme de plus haut degré du diviseur : $$$\frac{v^{4}}{v^{2}} = v^{2}$$$.

Inscrivez le résultat calculé dans la partie supérieure du tableau.

Multipliez-le par le diviseur : $$$v^{2} \left(v^{2}+1\right) = v^{4}+v^{2}$$$.

Soustrayez le dividende du résultat obtenu: $$$\left(v^{4}\right) - \left(v^{4}+v^{2}\right) = - v^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{SaddleBrown}v^{2}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}v^{2}}+1&{\color{SaddleBrown}v^{4}}&+0 v^{3}&+0 v^{2}&+0 v&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}v^{4}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{SaddleBrown}v^{2}}\\&-\phantom{v^{4}}&&&&&\\&v^{4}&+0 v^{3}&+v^{2}&&&{\color{SaddleBrown}v^{2}} \left(v^{2}+1\right) = v^{4}+v^{2}\\\hline\\&&&- v^{2}&+0 v&+0&\end{array}$$

Étape 2

Divisez le terme dominant du reste obtenu par le terme dominant du diviseur : $$$\frac{- v^{2}}{v^{2}} = -1$$$.

Inscrivez le résultat calculé dans la partie supérieure du tableau.

Multipliez-le par le diviseur : $$$- \left(v^{2}+1\right) = - v^{2}-1$$$.

Soustrayez le reste du résultat obtenu : $$$\left(- v^{2}\right) - \left(- v^{2}-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&v^{2}&{\color{Crimson}-1}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}v^{2}}+1&v^{4}&+0 v^{3}&+0 v^{2}&+0 v&+0&\\&-\phantom{v^{4}}&&&&&\\&v^{4}&+0 v^{3}&+v^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{Crimson}- v^{2}}&+0 v&+0&\frac{{\color{Crimson}- v^{2}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{Crimson}-1}\\&&&-\phantom{- v^{2}}&&&\\&&&- v^{2}&+0 v&-1&{\color{Crimson}-1} \left(v^{2}+1\right) = - v^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Comme le degré du reste est inférieur à celui du diviseur, la division est terminée.

Le tableau résultant est affiché à nouveau :

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{SaddleBrown}v^{2}}&{\color{Crimson}-1}&&&&\text{Indications}\\\hline\\{\color{Magenta}v^{2}}+1&{\color{SaddleBrown}v^{4}}&+0 v^{3}&+0 v^{2}&+0 v&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}v^{4}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{SaddleBrown}v^{2}}\\&-\phantom{v^{4}}&&&&&\\&v^{4}&+0 v^{3}&+v^{2}&&&{\color{SaddleBrown}v^{2}} \left(v^{2}+1\right) = v^{4}+v^{2}\\\hline\\&&&{\color{Crimson}- v^{2}}&+0 v&+0&\frac{{\color{Crimson}- v^{2}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{Crimson}-1}\\&&&-\phantom{- v^{2}}&&&\\&&&- v^{2}&+0 v&-1&{\color{Crimson}-1} \left(v^{2}+1\right) = - v^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Donc, $$$\frac{v^{4}}{v^{2} + 1} = \left(v^{2} - 1\right) + \frac{1}{v^{2} + 1}$$$.