Diviser $$$u^{3}$$$ par $$$u - 1$$$

Saisissez le problème au format spécial (les termes manquants sont écrits avec des coefficients nuls) :

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u-1&u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

Étape 1

Divisez le terme de plus haut degré du dividende par le terme de plus haut degré du diviseur : $$$\frac{u^{3}}{u} = u^{2}$$$.

Inscrivez le résultat calculé dans la partie supérieure du tableau.

Multipliez-le par le diviseur : $$$u^{2} \left(u-1\right) = u^{3}- u^{2}$$$.

Soustrayez le dividende du résultat obtenu: $$$\left(u^{3}\right) - \left(u^{3}- u^{2}\right) = u^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Chartreuse}u^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&{\color{Chartreuse}u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Chartreuse}u^{3}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Chartreuse}u^{2}}\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&{\color{Chartreuse}u^{2}} \left(u-1\right) = u^{3}- u^{2}\\\hline\\&&u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Étape 2

Divisez le terme dominant du reste obtenu par le terme dominant du diviseur : $$$\frac{u^{2}}{u} = u$$$.

Inscrivez le résultat calculé dans la partie supérieure du tableau.

Multipliez-le par le diviseur : $$$u \left(u-1\right) = u^{2}- u$$$.

Soustrayez le reste du résultat obtenu : $$$\left(u^{2}\right) - \left(u^{2}- u\right) = u$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&u^{2}&{\color{Chocolate}+u}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{Chocolate}u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{Chocolate}u^{2}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Chocolate}u}\\&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&u^{2}&- u&&{\color{Chocolate}u} \left(u-1\right) = u^{2}- u\\\hline\\&&&u&+0&\end{array}$$

Étape 3

Divisez le terme dominant du reste obtenu par le terme dominant du diviseur : $$$\frac{u}{u} = 1$$$.

Inscrivez le résultat calculé dans la partie supérieure du tableau.

Multipliez-le par le diviseur : $$$1 \left(u-1\right) = u-1$$$.

Soustrayez le reste du résultat obtenu : $$$\left(u\right) - \left(u-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&u^{2}&+u&{\color{DeepPink}+1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&\\\hline\\&&u^{2}&+0 u&+0&\\&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&u^{2}&- u&&\\\hline\\&&&{\color{DeepPink}u}&+0&\frac{{\color{DeepPink}u}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{DeepPink}1}\\&&&-\phantom{u}&&\\&&&u&-1&{\color{DeepPink}1} \left(u-1\right) = u-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Comme le degré du reste est inférieur à celui du diviseur, la division est terminée.

Le tableau résultant est affiché à nouveau :

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Chartreuse}u^{2}}&{\color{Chocolate}+u}&{\color{DeepPink}+1}&&\text{Indications}\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&{\color{Chartreuse}u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Chartreuse}u^{3}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Chartreuse}u^{2}}\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&{\color{Chartreuse}u^{2}} \left(u-1\right) = u^{3}- u^{2}\\\hline\\&&{\color{Chocolate}u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{Chocolate}u^{2}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Chocolate}u}\\&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&u^{2}&- u&&{\color{Chocolate}u} \left(u-1\right) = u^{2}- u\\\hline\\&&&{\color{DeepPink}u}&+0&\frac{{\color{DeepPink}u}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{DeepPink}1}\\&&&-\phantom{u}&&\\&&&u&-1&{\color{DeepPink}1} \left(u-1\right) = u-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Donc, $$$\frac{u^{3}}{u - 1} = \left(u^{2} + u + 1\right) + \frac{1}{u - 1}$$$.