Diviser $$$u^{7}$$$ par $$$u^{2} + 1$$$

Saisissez le problème au format spécial (les termes manquants sont écrits avec des coefficients nuls) :

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u^{2}+1&u^{7}+0 u^{6}+0 u^{5}+0 u^{4}+0 u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

Étape 1

Divisez le terme de plus haut degré du dividende par le terme de plus haut degré du diviseur : $$$\frac{u^{7}}{u^{2}} = u^{5}$$$.

Inscrivez le résultat calculé dans la partie supérieure du tableau.

Multipliez-le par le diviseur : $$$u^{5} \left(u^{2}+1\right) = u^{7}+u^{5}$$$.

Soustrayez le dividende du résultat obtenu: $$$\left(u^{7}\right) - \left(u^{7}+u^{5}\right) = - u^{5}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrrrr:c}&{\color{Brown}u^{5}}&&&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Brown}u^{7}}&+0 u^{6}&+0 u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Brown}u^{7}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Brown}u^{5}}\\&-\phantom{u^{7}}&&&&&&&&\\&u^{7}&+0 u^{6}&+u^{5}&&&&&&{\color{Brown}u^{5}} \left(u^{2}+1\right) = u^{7}+u^{5}\\\hline\\&&&- u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Étape 2

Divisez le terme dominant du reste obtenu par le terme dominant du diviseur : $$$\frac{- u^{5}}{u^{2}} = - u^{3}$$$.

Inscrivez le résultat calculé dans la partie supérieure du tableau.

Multipliez-le par le diviseur : $$$- u^{3} \left(u^{2}+1\right) = - u^{5}- u^{3}$$$.

Soustrayez le reste du résultat obtenu : $$$\left(- u^{5}\right) - \left(- u^{5}- u^{3}\right) = u^{3}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrrrr:c}&u^{5}&{\color{Red}- u^{3}}&&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{7}&+0 u^{6}&+0 u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{7}}&&&&&&&&\\&u^{7}&+0 u^{6}&+u^{5}&&&&&&\\\hline\\&&&{\color{Red}- u^{5}}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Red}- u^{5}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Red}- u^{3}}\\&&&-\phantom{- u^{5}}&&&&&&\\&&&- u^{5}&+0 u^{4}&- u^{3}&&&&{\color{Red}- u^{3}} \left(u^{2}+1\right) = - u^{5}- u^{3}\\\hline\\&&&&&u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Étape 3

Divisez le terme dominant du reste obtenu par le terme dominant du diviseur : $$$\frac{u^{3}}{u^{2}} = u$$$.

Inscrivez le résultat calculé dans la partie supérieure du tableau.

Multipliez-le par le diviseur : $$$u \left(u^{2}+1\right) = u^{3}+u$$$.

Soustrayez le reste du résultat obtenu : $$$\left(u^{3}\right) - \left(u^{3}+u\right) = - u$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrrrr:c}&u^{5}&- u^{3}&{\color{Chocolate}+u}&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{7}&+0 u^{6}&+0 u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{7}}&&&&&&&&\\&u^{7}&+0 u^{6}&+u^{5}&&&&&&\\\hline\\&&&- u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&&&-\phantom{- u^{5}}&&&&&&\\&&&- u^{5}&+0 u^{4}&- u^{3}&&&&\\\hline\\&&&&&{\color{Chocolate}u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Chocolate}u^{3}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Chocolate}u}\\&&&&&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&&&&&u^{3}&+0 u^{2}&+u&&{\color{Chocolate}u} \left(u^{2}+1\right) = u^{3}+u\\\hline\\&&&&&&&- u&+0&\end{array}$$

Comme le degré du reste est inférieur à celui du diviseur, la division est terminée.

Le tableau résultant est affiché à nouveau :

$$\begin{array}{r|rrrrrrrr:c}&{\color{Brown}u^{5}}&{\color{Red}- u^{3}}&{\color{Chocolate}+u}&&&&&&\text{Indications}\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Brown}u^{7}}&+0 u^{6}&+0 u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Brown}u^{7}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Brown}u^{5}}\\&-\phantom{u^{7}}&&&&&&&&\\&u^{7}&+0 u^{6}&+u^{5}&&&&&&{\color{Brown}u^{5}} \left(u^{2}+1\right) = u^{7}+u^{5}\\\hline\\&&&{\color{Red}- u^{5}}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Red}- u^{5}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Red}- u^{3}}\\&&&-\phantom{- u^{5}}&&&&&&\\&&&- u^{5}&+0 u^{4}&- u^{3}&&&&{\color{Red}- u^{3}} \left(u^{2}+1\right) = - u^{5}- u^{3}\\\hline\\&&&&&{\color{Chocolate}u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Chocolate}u^{3}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Chocolate}u}\\&&&&&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&&&&&u^{3}&+0 u^{2}&+u&&{\color{Chocolate}u} \left(u^{2}+1\right) = u^{3}+u\\\hline\\&&&&&&&- u&+0&\end{array}$$

Donc, $$$\frac{u^{7}}{u^{2} + 1} = \left(u^{5} - u^{3} + u\right) + \frac{- u}{u^{2} + 1}$$$.