Diviser $$$u^{6}$$$ par $$$u^{2} + 1$$$

Saisissez le problème au format spécial (les termes manquants sont écrits avec des coefficients nuls) :

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u^{2}+1&u^{6}+0 u^{5}+0 u^{4}+0 u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

Étape 1

Divisez le terme de plus haut degré du dividende par le terme de plus haut degré du diviseur : $$$\frac{u^{6}}{u^{2}} = u^{4}$$$.

Inscrivez le résultat calculé dans la partie supérieure du tableau.

Multipliez-le par le diviseur : $$$u^{4} \left(u^{2}+1\right) = u^{6}+u^{4}$$$.

Soustrayez le dividende du résultat obtenu: $$$\left(u^{6}\right) - \left(u^{6}+u^{4}\right) = - u^{4}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&{\color{DeepPink}u^{4}}&&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{DeepPink}u^{6}}&+0 u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{DeepPink}u^{6}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{DeepPink}u^{4}}\\&-\phantom{u^{6}}&&&&&&&\\&u^{6}&+0 u^{5}&+u^{4}&&&&&{\color{DeepPink}u^{4}} \left(u^{2}+1\right) = u^{6}+u^{4}\\\hline\\&&&- u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Étape 2

Divisez le terme dominant du reste obtenu par le terme dominant du diviseur : $$$\frac{- u^{4}}{u^{2}} = - u^{2}$$$.

Inscrivez le résultat calculé dans la partie supérieure du tableau.

Multipliez-le par le diviseur : $$$- u^{2} \left(u^{2}+1\right) = - u^{4}- u^{2}$$$.

Soustrayez le reste du résultat obtenu : $$$\left(- u^{4}\right) - \left(- u^{4}- u^{2}\right) = u^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&u^{4}&{\color{Green}- u^{2}}&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{6}&+0 u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{6}}&&&&&&&\\&u^{6}&+0 u^{5}&+u^{4}&&&&&\\\hline\\&&&{\color{Green}- u^{4}}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Green}- u^{4}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Green}- u^{2}}\\&&&-\phantom{- u^{4}}&&&&&\\&&&- u^{4}&+0 u^{3}&- u^{2}&&&{\color{Green}- u^{2}} \left(u^{2}+1\right) = - u^{4}- u^{2}\\\hline\\&&&&&u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Étape 3

Divisez le terme dominant du reste obtenu par le terme dominant du diviseur : $$$\frac{u^{2}}{u^{2}} = 1$$$.

Inscrivez le résultat calculé dans la partie supérieure du tableau.

Multipliez-le par le diviseur : $$$1 \left(u^{2}+1\right) = u^{2}+1$$$.

Soustrayez le reste du résultat obtenu : $$$\left(u^{2}\right) - \left(u^{2}+1\right) = -1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&u^{4}&- u^{2}&{\color{Peru}+1}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{6}&+0 u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{6}}&&&&&&&\\&u^{6}&+0 u^{5}&+u^{4}&&&&&\\\hline\\&&&- u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&&&-\phantom{- u^{4}}&&&&&\\&&&- u^{4}&+0 u^{3}&- u^{2}&&&\\\hline\\&&&&&{\color{Peru}u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{Peru}u^{2}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Peru}1}\\&&&&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&&&&u^{2}&+0 u&+1&{\color{Peru}1} \left(u^{2}+1\right) = u^{2}+1\\\hline\\&&&&&&&-1&\end{array}$$

Comme le degré du reste est inférieur à celui du diviseur, la division est terminée.

Le tableau résultant est affiché à nouveau :

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&{\color{DeepPink}u^{4}}&{\color{Green}- u^{2}}&{\color{Peru}+1}&&&&&\text{Indications}\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{DeepPink}u^{6}}&+0 u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{DeepPink}u^{6}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{DeepPink}u^{4}}\\&-\phantom{u^{6}}&&&&&&&\\&u^{6}&+0 u^{5}&+u^{4}&&&&&{\color{DeepPink}u^{4}} \left(u^{2}+1\right) = u^{6}+u^{4}\\\hline\\&&&{\color{Green}- u^{4}}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Green}- u^{4}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Green}- u^{2}}\\&&&-\phantom{- u^{4}}&&&&&\\&&&- u^{4}&+0 u^{3}&- u^{2}&&&{\color{Green}- u^{2}} \left(u^{2}+1\right) = - u^{4}- u^{2}\\\hline\\&&&&&{\color{Peru}u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{Peru}u^{2}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Peru}1}\\&&&&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&&&&u^{2}&+0 u&+1&{\color{Peru}1} \left(u^{2}+1\right) = u^{2}+1\\\hline\\&&&&&&&-1&\end{array}$$

Donc, $$$\frac{u^{6}}{u^{2} + 1} = \left(u^{4} - u^{2} + 1\right) + \frac{-1}{u^{2} + 1}$$$.