Diviser $$$u^{5}$$$ par $$$u^{2} + 1$$$

Saisissez le problème au format spécial (les termes manquants sont écrits avec des coefficients nuls) :

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u^{2}+1&u^{5}+0 u^{4}+0 u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

Étape 1

Divisez le terme de plus haut degré du dividende par le terme de plus haut degré du diviseur : $$$\frac{u^{5}}{u^{2}} = u^{3}$$$.

Inscrivez le résultat calculé dans la partie supérieure du tableau.

Multipliez-le par le diviseur : $$$u^{3} \left(u^{2}+1\right) = u^{5}+u^{3}$$$.

Soustrayez le dividende du résultat obtenu: $$$\left(u^{5}\right) - \left(u^{5}+u^{3}\right) = - u^{3}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrr:c}&{\color{Blue}u^{3}}&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Blue}u^{5}}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Blue}u^{5}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Blue}u^{3}}\\&-\phantom{u^{5}}&&&&&&\\&u^{5}&+0 u^{4}&+u^{3}&&&&{\color{Blue}u^{3}} \left(u^{2}+1\right) = u^{5}+u^{3}\\\hline\\&&&- u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Étape 2

Divisez le terme dominant du reste obtenu par le terme dominant du diviseur : $$$\frac{- u^{3}}{u^{2}} = - u$$$.

Inscrivez le résultat calculé dans la partie supérieure du tableau.

Multipliez-le par le diviseur : $$$- u \left(u^{2}+1\right) = - u^{3}- u$$$.

Soustrayez le reste du résultat obtenu : $$$\left(- u^{3}\right) - \left(- u^{3}- u\right) = u$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrr:c}&u^{3}&{\color{Green}- u}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{5}}&&&&&&\\&u^{5}&+0 u^{4}&+u^{3}&&&&\\\hline\\&&&{\color{Green}- u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Green}- u^{3}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Green}- u}\\&&&-\phantom{- u^{3}}&&&&\\&&&- u^{3}&+0 u^{2}&- u&&{\color{Green}- u} \left(u^{2}+1\right) = - u^{3}- u\\\hline\\&&&&&u&+0&\end{array}$$

Comme le degré du reste est inférieur à celui du diviseur, la division est terminée.

Le tableau résultant est affiché à nouveau :

$$\begin{array}{r|rrrrrr:c}&{\color{Blue}u^{3}}&{\color{Green}- u}&&&&&\text{Indications}\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Blue}u^{5}}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Blue}u^{5}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Blue}u^{3}}\\&-\phantom{u^{5}}&&&&&&\\&u^{5}&+0 u^{4}&+u^{3}&&&&{\color{Blue}u^{3}} \left(u^{2}+1\right) = u^{5}+u^{3}\\\hline\\&&&{\color{Green}- u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Green}- u^{3}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Green}- u}\\&&&-\phantom{- u^{3}}&&&&\\&&&- u^{3}&+0 u^{2}&- u&&{\color{Green}- u} \left(u^{2}+1\right) = - u^{3}- u\\\hline\\&&&&&u&+0&\end{array}$$

Donc, $$$\frac{u^{5}}{u^{2} + 1} = \left(u^{3} - u\right) + \frac{u}{u^{2} + 1}$$$.