Diviser $$$u^{4}$$$ par $$$u^{2} + 1$$$

Saisissez le problème au format spécial (les termes manquants sont écrits avec des coefficients nuls) :

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u^{2}+1&u^{4}+0 u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

Étape 1

Divisez le terme de plus haut degré du dividende par le terme de plus haut degré du diviseur : $$$\frac{u^{4}}{u^{2}} = u^{2}$$$.

Inscrivez le résultat calculé dans la partie supérieure du tableau.

Multipliez-le par le diviseur : $$$u^{2} \left(u^{2}+1\right) = u^{4}+u^{2}$$$.

Soustrayez le dividende du résultat obtenu: $$$\left(u^{4}\right) - \left(u^{4}+u^{2}\right) = - u^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Chartreuse}u^{2}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Chartreuse}u^{4}}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Chartreuse}u^{4}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Chartreuse}u^{2}}\\&-\phantom{u^{4}}&&&&&\\&u^{4}&+0 u^{3}&+u^{2}&&&{\color{Chartreuse}u^{2}} \left(u^{2}+1\right) = u^{4}+u^{2}\\\hline\\&&&- u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Étape 2

Divisez le terme dominant du reste obtenu par le terme dominant du diviseur : $$$\frac{- u^{2}}{u^{2}} = -1$$$.

Inscrivez le résultat calculé dans la partie supérieure du tableau.

Multipliez-le par le diviseur : $$$- \left(u^{2}+1\right) = - u^{2}-1$$$.

Soustrayez le reste du résultat obtenu : $$$\left(- u^{2}\right) - \left(- u^{2}-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&u^{2}&{\color{Brown}-1}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{4}}&&&&&\\&u^{4}&+0 u^{3}&+u^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{Brown}- u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{Brown}- u^{2}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Brown}-1}\\&&&-\phantom{- u^{2}}&&&\\&&&- u^{2}&+0 u&-1&{\color{Brown}-1} \left(u^{2}+1\right) = - u^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Comme le degré du reste est inférieur à celui du diviseur, la division est terminée.

Le tableau résultant est affiché à nouveau :

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Chartreuse}u^{2}}&{\color{Brown}-1}&&&&\text{Indications}\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Chartreuse}u^{4}}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Chartreuse}u^{4}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Chartreuse}u^{2}}\\&-\phantom{u^{4}}&&&&&\\&u^{4}&+0 u^{3}&+u^{2}&&&{\color{Chartreuse}u^{2}} \left(u^{2}+1\right) = u^{4}+u^{2}\\\hline\\&&&{\color{Brown}- u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{Brown}- u^{2}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Brown}-1}\\&&&-\phantom{- u^{2}}&&&\\&&&- u^{2}&+0 u&-1&{\color{Brown}-1} \left(u^{2}+1\right) = - u^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Donc, $$$\frac{u^{4}}{u^{2} + 1} = \left(u^{2} - 1\right) + \frac{1}{u^{2} + 1}$$$.