eMathHelp Matematiikan ratkaisin – ilmainen vaiheittainen laskin

Laske $$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1\\1 & 3\end{array}\right]^{-1}$$$ käyttämällä Gauss–Jordanin eliminointia.

Käänteismatriisin löytämiseksi laajenna matriisi yksikkömatriisilla ja suorita alkeisrivitoimituksia pyrkien saamaan vasemmalle puolelle yksikkömatriisin. Tällöin oikealle puolelle saadaan käänteismatriisi.

Siis laajenna matriisi yksikkömatriisilla:

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}2 & 1 & 1 & 0\\1 & 3 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

Jaa rivi $$$1$$$ luvulla $$$2$$$: $$$R_{1} = \frac{R_{1}}{2}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\1 & 3 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

Vähennä rivi $$$1$$$ rivistä $$$2$$$: $$$R_{2} = R_{2} - R_{1}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\0 & \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} & 1\end{array}\right]$$$

Kerro rivi $$$2$$$ luvulla $$$\frac{2}{5}$$$: $$$R_{2} = \frac{2 R_{2}}{5}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\0 & 1 & - \frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{array}\right]$$$

Vähennä rivistä $$$1$$$ $$$\frac{1}{2}$$$ kertaa rivi $$$2$$$: $$$R_{1} = R_{1} - \frac{R_{2}}{2}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{3}{5} & - \frac{1}{5}\\0 & 1 & - \frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{array}\right]$$$

Olemme valmiit. Vasemmalla on yksikkömatriisi. Oikealla on käänteismatriisi.

Käänteismatriisi on $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{3}{5} & - \frac{1}{5}\\- \frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0.6 & -0.2\\-0.2 & 0.4\end{array}\right].$$$A