Magnitud de $$$\left\langle \sqrt{2} e^{t} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}, \sqrt{2} e^{t} \sin{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}, e^{t}\right\rangle$$$

Halla el módulo (longitud) de $$$\mathbf{\vec{u}} = \left\langle \sqrt{2} e^{t} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}, \sqrt{2} e^{t} \sin{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}, e^{t}\right\rangle.$$$

La magnitud de un vector está dada por la fórmula $$$\mathbf{\left\lvert\vec{u}\right\rvert} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \left|{u_{i}}\right|^{2}}$$$.

La suma de los cuadrados de los valores absolutos de las coordenadas es $$$\left|{\sqrt{2} e^{t} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}\right|^{2} + \left|{\sqrt{2} e^{t} \sin{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}\right|^{2} + \left|{e^{t}}\right|^{2} = 2 e^{2 t} \sin^{2}{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)} + 2 e^{2 t} \cos^{2}{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)} + e^{2 t}.$$$

Por lo tanto, el módulo del vector es $$$\mathbf{\left\lvert\vec{u}\right\rvert} = \sqrt{2 e^{2 t} \sin^{2}{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)} + 2 e^{2 t} \cos^{2}{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)} + e^{2 t}} = \sqrt{3} e^{t}.$$$

La magnitud es $$$\sqrt{3} e^{t}\approx 1.732050807568877 e^{t}$$$A.