Descomposición en valores singulares de $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]$$$

Halla la descomposición en valores singulares de $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]$$$.

Halla la traspuesta de la matriz: $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]^{T} = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\\\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\end{array}\right]$$$ (para ver los pasos, consulta calculadora de matriz traspuesta).

Multiplica la matriz por su traspuesta: $$$W = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\\\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$ (para ver los pasos, consulta matrix multiplication calculator).

Ahora, halla los valores y vectores propios de $$$W$$$ (para ver los pasos, consulta calculadora de valores y vectores propios).

Valor propio: $$$1$$$, vector propio: $$$\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]$$$.

Valor propio: $$$0$$$, vector propio: $$$\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]$$$.

Encuentre las raíces cuadradas de los valores propios no nulos ($$$\sigma_{i}$$$):

$$$\sigma_{1} = 1$$$

La matriz $$$\Sigma$$$ es una matriz nula con $$$\sigma_{i}$$$ en su diagonal: $$$\Sigma = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$.

Las columnas de la matriz $$$U$$$ son los vectores normalizados (unitarios): $$$U = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right]$$$ (para ver los pasos para hallar un vector unitario, consulte calculadora de vector unitario).

Ahora, $$$v_{i} = \frac{1}{\sigma_{i}}\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]^{T}\cdot u_{i}$$$:

$$$v_{1} = \frac{1}{\sigma_{1}}\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]^{T}\cdot u_{1} = \frac{1}{1}\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\\\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$$ (para ver los pasos, consulte calculadora de multiplicación escalar de matrices y calculadora de multiplicación de matrices).

Como nos hemos quedado sin $$$\sigma_{i}$$$ no nulos y necesitamos un vector más, encuentra el vector ortogonal a todos los vectores encontrados hallando el espacio nulo de la matriz cuyas filas son los vectores encontrados: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$ (para los pasos, ver calculadora de espacio nulo).

Normaliza el vector: se convierte en $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$$ (para ver los pasos, consulta la calculadora de vector unitario).

Por lo tanto, $$$V = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$$.

Las matrices $$$U$$$, $$$\Sigma$$$ y $$$V$$$ son tales que la matriz inicial $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right] = U \Sigma V^T$$$.

$$$U = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right]$$$A

$$$\Sigma = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$A

$$$V = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.707106781186548 & -0.707106781186548\\0.707106781186548 & 0.707106781186548\end{array}\right]$$$A