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Rotacional de $$$\left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle$$$

La calculadora encontrará el rotacional del campo vectorial $$$\left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle$$$, mostrando los pasos.

Calculadoras relacionadas: Calculadora de derivadas parciales, Calculadora de producto vectorial, Calculadora del determinante de una matriz

$$$\langle$$$
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$$$\rangle$$$
$$$($$$
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$$$)$$$
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Tu entrada

Calcular $$$\operatorname{curl} \left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle$$$.

Solución

Por definición, $$$\operatorname{curl} \left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle = \nabla\times \left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle$$$, o, de forma equivalente, $$$\operatorname{curl} \left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle = \left|\begin{array}{ccc}\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}}\\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\e^{x} \cos{\left(y \right)} & x y^{2} & y z^{3}\end{array}\right|$$$, donde $$$\times$$$ es el operador del producto vectorial.

Por lo tanto, $$$\operatorname{curl} \left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle = \left\langle \frac{\partial}{\partial y} \left(y z^{3}\right) - \frac{\partial}{\partial z} \left(x y^{2}\right), \frac{\partial}{\partial z} \left(e^{x} \cos{\left(y \right)}\right) - \frac{\partial}{\partial x} \left(y z^{3}\right), \frac{\partial}{\partial x} \left(x y^{2}\right) - \frac{\partial}{\partial y} \left(e^{x} \cos{\left(y \right)}\right)\right\rangle.$$$

Encuentre las derivadas parciales:

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(y z^{3}\right) = z^{3}$$$ (para los pasos, véase calculadora de derivadas).

$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(x y^{2}\right) = 0$$$ (para los pasos, véase calculadora de derivadas).

$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(e^{x} \cos{\left(y \right)}\right) = 0$$$ (para los pasos, véase calculadora de derivadas).

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(y z^{3}\right) = 0$$$ (para los pasos, véase calculadora de derivadas).

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x y^{2}\right) = y^{2}$$$ (para los pasos, véase calculadora de derivadas).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(e^{x} \cos{\left(y \right)}\right) = - e^{x} \sin{\left(y \right)}$$$ (para los pasos, véase calculadora de derivadas).

Ahora, simplemente sustituye las derivadas parciales encontradas para obtener el rotacional: $$$\operatorname{curl} \left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle = \left\langle z^{3}, 0, y^{2} + e^{x} \sin{\left(y \right)}\right\rangle.$$$

Respuesta

$$$\operatorname{curl} \left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle = \left\langle z^{3}, 0, y^{2} + e^{x} \sin{\left(y \right)}\right\rangle$$$A