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Puntos críticos, extremos y puntos de silla de $$$f{\left(x,y \right)} = e^{x y}$$$
Calculadora relacionada: Calculadora de multiplicadores de Lagrange
Tu entrada
Halla y clasifica los puntos críticos de $$$f{\left(x,y \right)} = e^{x y}$$$.
Solución
El primer paso es encontrar todas las derivadas parciales de primer orden:
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(e^{x y}\right) = y e^{x y}$$$ (para ver los pasos, consulte calculadora de derivadas parciales).
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(e^{x y}\right) = x e^{x y}$$$ (para ver los pasos, consulte calculadora de derivadas parciales).
A continuación, resuelve el sistema $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$, o $$$\begin{cases} y e^{x y} = 0 \\ x e^{x y} = 0 \end{cases}$$$.
El sistema tiene la siguiente solución real: $$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$.
Ahora, intentemos clasificarlo.
Halle todas las derivadas parciales de segundo orden:
$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(e^{x y}\right) = y^{2} e^{x y}$$$ (para ver los pasos, consulte calculadora de derivadas parciales).
$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(e^{x y}\right) = \left(x y + 1\right) e^{x y}$$$ (para ver los pasos, consulte calculadora de derivadas parciales).
$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(e^{x y}\right) = x^{2} e^{x y}$$$ (para ver los pasos, consulte calculadora de derivadas parciales).
Defina la expresión $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - \left(2 x y + 1\right) e^{2 x y}.$$$
Dado que $$$D{\left(0,0 \right)} = -1$$$ es menor que $$$0$$$, se puede afirmar que $$$\left(0, 0\right)$$$ es un punto de silla.
Respuesta
Máximos relativos
No hay máximos relativos.
Mínimos relativos
No hay mínimos relativos.
Puntos de silla
$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$A, $$$f{\left(0,0 \right)} = 1$$$A