Aproxima $$$\int\limits_{0}^{4} x^{2}\, dx$$$ con $$$n = 4$$$ usando la regla del punto medio

La calculadora aproximará la integral de $$$x^{2}$$$ de $$$0$$$ a $$$4$$$ con $$$n = 4$$$ subintervalos usando la regla del punto medio, con los pasos mostrados.

Calculadora relacionada: Calculadora de la regla del punto medio para una tabla

Si la calculadora no calculó algo o ha identificado un error, o tiene una sugerencia/comentario, escríbalo en los comentarios a continuación.

Tu aportación

Aproxima la integral $$$\int\limits_{0}^{4} x^{2}\, dx$$$ con $$$n = 4$$$ usando la regla del punto medio.

Solución

La regla del punto medio (también conocida como la aproximación del punto medio) utiliza el punto medio de un subintervalo para calcular la altura del rectángulo de aproximación:

$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(\frac{x_{0} + x_{1}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{2} + x_{3}}{2} \right)}+\dots+f{\left(\frac{x_{n-2} + x_{n-1}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{n-1} + x_{n}}{2} \right)}\right)$$$

donde $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.

Tenemos que $$$f{\left(x \right)} = x^{2}$$$, $$$a = 0$$$, $$$b = 4$$$ y $$$n = 4$$$.

Por lo tanto, $$$\Delta x = \frac{4 - 0}{4} = 1$$$.

Divida el intervalo $$$\left[0, 4\right]$$$ en $$$n = 4$$$ subintervalos de longitud $$$\Delta x = 1$$$ con los siguientes puntos finales: $$$a = 0$$$, $$$1$$$, $$$2$$$, $$$3$$$, $$$4 = b$$$.

Ahora, simplemente evalúe la función en los puntos medios de los subintervalos.

$$$f{\left(\frac{x_{0} + x_{1}}{2} \right)} = f{\left(\frac{0 + 1}{2} \right)} = f{\left(\frac{1}{2} \right)} = \frac{1}{4} = 0.25$$$

$$$f{\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{1 + 2}{2} \right)} = f{\left(\frac{3}{2} \right)} = \frac{9}{4} = 2.25$$$

$$$f{\left(\frac{x_{2} + x_{3}}{2} \right)} = f{\left(\frac{2 + 3}{2} \right)} = f{\left(\frac{5}{2} \right)} = \frac{25}{4} = 6.25$$$

$$$f{\left(\frac{x_{3} + x_{4}}{2} \right)} = f{\left(\frac{3 + 4}{2} \right)} = f{\left(\frac{7}{2} \right)} = \frac{49}{4} = 12.25$$$

Finalmente, simplemente sume los valores anteriores y multiplíquelos por $$$\Delta x = 1$$$: $$$1 \left(0.25 + 2.25 + 6.25 + 12.25\right) = 21$$$.

Respuesta

$$$\int\limits_{0}^{4} x^{2}\, dx\approx 21$$$A