Calculadora de la regla del punto medio para una función
Aproximar una integral (dada por una función) utilizando la regla del punto medio paso a paso
Una calculadora en línea para aproximar la integral definida usando la regla del punto medio (ordenada media), con los pasos mostrados.
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Tu entrada
Aproximar la integral $$$\int\limits_{1}^{3} \sqrt{\sin^{4}{\left(x \right)} + 7}\, dx$$$ con $$$n = 4$$$ usando la regla del punto medio.
Solución
La regla del punto medio (también conocida como la aproximación por punto medio) utiliza el punto medio de un subintervalo para calcular la altura del rectángulo aproximante:
$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(\frac{x_{0} + x_{1}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{2} + x_{3}}{2} \right)}+\dots+f{\left(\frac{x_{n-2} + x_{n-1}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{n-1} + x_{n}}{2} \right)}\right)$$$
donde $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.
Tenemos que $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(x \right)} + 7}$$$, $$$a = 1$$$, $$$b = 3$$$ y $$$n = 4$$$.
Por lo tanto, $$$\Delta x = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$$$.
Divide el intervalo $$$\left[1, 3\right]$$$ en $$$n = 4$$$ subintervalos de longitud $$$\Delta x = \frac{1}{2}$$$ con los siguientes extremos: $$$a = 1$$$, $$$\frac{3}{2}$$$, $$$2$$$, $$$\frac{5}{2}$$$, $$$3 = b$$$.
Ahora, simplemente evalúe la función en los puntos medios de los subintervalos.
$$$f{\left(\frac{x_{0} + x_{1}}{2} \right)} = f{\left(\frac{1 + \frac{3}{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{5}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{5}{4} \right)} + 7}\approx 2.794821922941848$$$
$$$f{\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{\frac{3}{2} + 2}{2} \right)} = f{\left(\frac{7}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{7}{4} \right)} + 7}\approx 2.817350905627184$$$
$$$f{\left(\frac{x_{2} + x_{3}}{2} \right)} = f{\left(\frac{2 + \frac{5}{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{9}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{9}{4} \right)} + 7}\approx 2.714130913751178$$$
$$$f{\left(\frac{x_{3} + x_{4}}{2} \right)} = f{\left(\frac{\frac{5}{2} + 3}{2} \right)} = f{\left(\frac{11}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{11}{4} \right)} + 7}\approx 2.649758163512828$$$
Finalmente, simplemente suma los valores anteriores y multiplica el resultado por $$$\Delta x = \frac{1}{2}$$$: $$$\frac{1}{2} \left(2.794821922941848 + 2.817350905627184 + 2.714130913751178 + 2.649758163512828\right) = 5.488030952916519.$$$
Respuesta
$$$\int\limits_{1}^{3} \sqrt{\sin^{4}{\left(x \right)} + 7}\, dx\approx 5.488030952916519$$$A