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Calculadora de la regla del punto medio para una función
Aproximar una integral (dada por una función) usando la regla del punto medio paso a paso
Una calculadora en línea para aproximar la integral definida usando la regla del punto medio (ordenada media), con pasos mostrados.
Calculadora relacionada: Calculadora de la regla del punto medio para una tabla
Tu aportación
Aproxima la integral $$$\int\limits_{1}^{3} \sqrt{\sin^{4}{\left(x \right)} + 7}\, dx$$$ con $$$n = 4$$$ usando la regla del punto medio.
Solución
La regla del punto medio (también conocida como la aproximación del punto medio) utiliza el punto medio de un subintervalo para calcular la altura del rectángulo de aproximación:
$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(\frac{x_{0} + x_{1}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{2} + x_{3}}{2} \right)}+\dots+f{\left(\frac{x_{n-2} + x_{n-1}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{n-1} + x_{n}}{2} \right)}\right)$$$
donde $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.
Tenemos que $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(x \right)} + 7}$$$, $$$a = 1$$$, $$$b = 3$$$ y $$$n = 4$$$.
Por lo tanto, $$$\Delta x = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$$$.
Divida el intervalo $$$\left[1, 3\right]$$$ en $$$n = 4$$$ subintervalos de longitud $$$\Delta x = \frac{1}{2}$$$ con los siguientes puntos finales: $$$a = 1$$$, $$$\frac{3}{2}$$$, $$$2$$$, $$$\frac{5}{2}$$$, $$$3 = b$$$.
Ahora, simplemente evalúe la función en los puntos medios de los subintervalos.
$$$f{\left(\frac{x_{0} + x_{1}}{2} \right)} = f{\left(\frac{1 + \frac{3}{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{5}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{5}{4} \right)} + 7}\approx 2.794821922941848$$$
$$$f{\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{\frac{3}{2} + 2}{2} \right)} = f{\left(\frac{7}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{7}{4} \right)} + 7}\approx 2.817350905627184$$$
$$$f{\left(\frac{x_{2} + x_{3}}{2} \right)} = f{\left(\frac{2 + \frac{5}{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{9}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{9}{4} \right)} + 7}\approx 2.714130913751178$$$
$$$f{\left(\frac{x_{3} + x_{4}}{2} \right)} = f{\left(\frac{\frac{5}{2} + 3}{2} \right)} = f{\left(\frac{11}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{11}{4} \right)} + 7}\approx 2.649758163512828$$$
Finalmente, simplemente sume los valores anteriores y multiplíquelos por $$$\Delta x = \frac{1}{2}$$$: $$$\frac{1}{2} \left(2.794821922941848 + 2.817350905627184 + 2.714130913751178 + 2.649758163512828\right) = 5.488030952916519.$$$
Respuesta
$$$\int\limits_{1}^{3} \sqrt{\sin^{4}{\left(x \right)} + 7}\, dx\approx 5.488030952916519$$$A