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Tasa instantánea de cambio de $$$f{\left(x \right)} = 5 x^{x}$$$ en $$$x = 3$$$
Tu entrada
Encuentra la tasa de cambio instantánea de $$$f{\left(x \right)} = 5 x^{x}$$$ en $$$x = 3$$$.
Solución
La tasa de cambio instantánea de la función $$$f{\left(x \right)}$$$ en el punto $$$x = x_{0}$$$ es la derivada de la función $$$f{\left(x \right)}$$$ evaluada en el punto $$$x = x_{0}$$$.
Esto significa que debemos hallar la derivada de $$$5 x^{x}$$$ y evaluarla en $$$x = 3$$$.
Entonces, halla la derivada de la función: $$$\frac{d}{dx} \left(5 x^{x}\right) = 5 x^{x} \left(\ln\left(x\right) + 1\right)$$$ (para ver los pasos, consulta calculadora de derivadas).
Finalmente, evalúa la derivada en $$$x = 3$$$.
$$$\left(\frac{d}{dx} \left(5 x^{x}\right)\right)|_{\left(x = 3\right)} = \left(5 x^{x} \left(\ln\left(x\right) + 1\right)\right)|_{\left(x = 3\right)} = 135 + 135 \ln\left(3\right)$$$
Por lo tanto, la tasa de cambio instantánea de $$$f{\left(x \right)} = 5 x^{x}$$$ en $$$x = 3$$$ es $$$135 + 135 \ln\left(3\right)$$$.
Respuesta
La tasa de variación instantánea de $$$f{\left(x \right)} = 5 x^{x}$$$A en $$$x = 3$$$A es $$$135 + 135 \ln\left(3\right)\approx 283.312658970194808$$$A.