Αποσύνθεση ιδιαζουσών τιμών του $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]$$$

Βρείτε την αποσύνθεση ιδιαζουσών τιμών (SVD) του $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]$$$.

Βρείτε το μεταθετό της μήτρας: $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]^{T} = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\\\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\end{array}\right]$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μεταθετού μήτρας).

Πολλαπλασιάστε τον πίνακα με τον ανάστροφό του: $$$W = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\\\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής πολλαπλασιασμού πινάκων).

Τώρα, βρείτε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του $$$W$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων).

Ιδιοτιμή: $$$1$$$, ιδιοδιάνυσμα: $$$\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]$$$.

Ιδιοτιμή: $$$0$$$, ιδιοδιάνυσμα: $$$\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]$$$.

Βρείτε τις τετραγωνικές ρίζες των μη μηδενικών ιδιοτιμών ($$$\sigma_{i}$$$):

$$$\sigma_{1} = 1$$$

Ο πίνακας $$$\Sigma$$$ είναι μηδενικός πίνακας με $$$\sigma_{i}$$$ στην κύρια διαγώνιο του: $$$\Sigma = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$.

Οι στήλες του πίνακα $$$U$$$ είναι τα κανονικοποιημένα (μοναδιαία) διανύσματα: $$$U = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right]$$$ (για τα βήματα εύρεσης ενός μοναδιαίου διανύσματος, δείτε unit vector calculator).

Τώρα, $$$v_{i} = \frac{1}{\sigma_{i}}\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]^{T}\cdot u_{i}$$$:

$$$v_{1} = \frac{1}{\sigma_{1}}\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]^{T}\cdot u_{1} = \frac{1}{1}\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\\\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής πολλαπλασιασμού πίνακα με βαθμωτό και υπολογιστής πολλαπλασιασμού πινάκων).

Εφόσον έχουμε εξαντλήσει τα μη μηδενικά $$$\sigma_{i}$$$ και χρειαζόμαστε ένα ακόμη διάνυσμα, βρείτε ένα διάνυσμα ορθογώνιο προς όλα τα βρεθέντα διανύσματα, βρίσκοντας τον μηδενικό χώρο του πίνακα του οποίου οι γραμμές είναι τα βρεθέντα διανύσματα: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μηδενικού χώρου).

Κανονικοποιήστε το διάνυσμα: γίνεται $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$$, (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μοναδιαίου διανύσματος).

Επομένως, $$$V = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$$.

Οι πίνακες $$$U$$$, $$$\Sigma$$$ και $$$V$$$ είναι τέτοιοι ώστε ο αρχικός πίνακας $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right] = U \Sigma V^T$$$.

$$$U = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right]$$$A

$$$\Sigma = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$A

$$$V = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.707106781186548 & -0.707106781186548\\0.707106781186548 & 0.707106781186548\end{array}\right]$$$A