Πυρήνας του $$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1 - i\\1 + i & 1\end{array}\right]$$$

Βρείτε τον μηδενικό χώρο του $$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1 - i\\1 + i & 1\end{array}\right]$$$.

Η ανηγμένη κλιμακωτή μορφή του πίνακα είναι $$$\left[\begin{array}{cc}1 & \frac{1}{2} - \frac{i}{2}\\0 & 0\end{array}\right]$$$ (για τα βήματα, δείτε rref calculator).

Για να βρείτε τον μηδενικό χώρο, λύστε την εξίσωση με πίνακες $$$\left[\begin{array}{cc}1 & \frac{1}{2} - \frac{i}{2}\\0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right].$$$

Εάν λάβουμε $$$x_{2} = t$$$, τότε $$$x_{1} = t \left(- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\right)$$$.

Άρα, $$$\mathbf{\vec{x}} = \left[\begin{array}{c}t \left(- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\right)\\t\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right] t.$$$

Αυτός είναι ο μηδενικός χώρος.

Η μηδενική διάσταση ενός πίνακα είναι η διάσταση της βάσης του πυρήνα.

Επομένως, η διάσταση του πυρήνα του πίνακα είναι $$$1$$$.

Η βάση του πυρήνα είναι $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right]\right\} = \left\{\left[\begin{array}{c}-0.5 + 0.5 i\\1\end{array}\right]\right\}.$$$A

Η μηδενικότητα του πίνακα είναι $$$1$$$A.