Πυρήνας του $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\4 & 1 & 7\end{array}\right]$$$

Βρείτε τον μηδενικό χώρο του $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\4 & 1 & 7\end{array}\right]$$$.

Η ανηγμένη κλιμακωτή μορφή του πίνακα είναι $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & \frac{11}{7}\\0 & 1 & \frac{5}{7}\end{array}\right]$$$ (για τα βήματα, δείτε rref calculator).

Για να βρείτε τον μηδενικό χώρο, λύστε την εξίσωση με πίνακες $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & \frac{11}{7}\\0 & 1 & \frac{5}{7}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right].$$$

Εάν λάβουμε $$$x_{3} = t$$$, τότε $$$x_{1} = - \frac{11 t}{7}$$$, $$$x_{2} = - \frac{5 t}{7}$$$.

Άρα, $$$\mathbf{\vec{x}} = \left[\begin{array}{c}- \frac{11 t}{7}\\- \frac{5 t}{7}\\t\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}- \frac{11}{7}\\- \frac{5}{7}\\1\end{array}\right] t.$$$

Αυτός είναι ο μηδενικός χώρος.

Η μηδενική διάσταση ενός πίνακα είναι η διάσταση της βάσης του πυρήνα.

Επομένως, η διάσταση του πυρήνα του πίνακα είναι $$$1$$$.

Η βάση του πυρήνα είναι $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{11}{7}\\- \frac{5}{7}\\1\end{array}\right]\right\}\approx \left\{\left[\begin{array}{c}-1.571428571428571\\-0.714285714285714\\1\end{array}\right]\right\}.$$$A

Η μηδενικότητα του πίνακα είναι $$$1$$$A.