Υπολογιστής αποσύνθεσης LU
Βρείτε τη LU παραγοντοποίηση ενός πίνακα βήμα προς βήμα
Η αριθμομηχανή θα βρει (αν είναι δυνατόν) την αποσύνθεση LU του δοθέντος πίνακα $$$A$$$, δηλαδή έναν κάτω τριγωνικό πίνακα $$$L$$$ και έναν άνω τριγωνικό πίνακα $$$U$$$ ώστε $$$A=LU$$$, με τα βήματα να εμφανίζονται.
Σε περίπτωση μερικού pivoting (όταν απαιτείται μετάθεση γραμμών), η αριθμομηχανή θα βρει επίσης τον πίνακα μεταθέσεων $$$P$$$ ώστε $$$PA=LU$$$.
Σχετικός υπολογιστής: Υπολογιστής αποσύνθεσης QR
Η είσοδός σας
Βρείτε την LU αποσύνθεση του $$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\3 & -2 & 0\\1 & 5 & 3\end{array}\right]$$$.
Λύση
Ξεκινήστε από τη μοναδιαία μήτρα $$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right]$$$.
Αφαιρέστε τη γραμμή $$$1$$$ πολλαπλασιασμένη επί $$$\frac{3}{2}$$$ από τη γραμμή $$$2$$$: $$$R_{2} = R_{2} - \frac{3 R_{1}}{2}$$$.
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\1 & 5 & 3\end{array}\right]$$$
Γράψτε τον συντελεστή $$$\frac{3}{2}$$$ στον πίνακα $$$L$$$ στη γραμμή $$$2$$$, στη στήλη $$$1$$$:
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right]$$$
Αφαιρέστε τη γραμμή $$$1$$$ πολλαπλασιασμένη επί $$$\frac{1}{2}$$$ από τη γραμμή $$$3$$$: $$$R_{3} = R_{3} - \frac{R_{1}}{2}$$$.
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2}\end{array}\right]$$$
Γράψτε τον συντελεστή $$$\frac{1}{2}$$$ στον πίνακα $$$L$$$ στη γραμμή $$$3$$$, στη στήλη $$$1$$$:
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & 0 & 1\end{array}\right]$$$
Προσθέστε τη γραμμή $$$2$$$ πολλαπλασιασμένη επί $$$\frac{3}{25}$$$ στη γραμμή $$$3$$$: $$$R_{3} = R_{3} + \frac{3 R_{2}}{25}$$$.
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & 0 & \frac{58}{25}\end{array}\right]$$$
Γράψτε τον συντελεστή $$$- \frac{3}{25}$$$ στον πίνακα $$$L$$$ στη γραμμή $$$3$$$, στη στήλη $$$2$$$:
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & - \frac{3}{25} & 1\end{array}\right]$$$
Ο προκύπτων πίνακας είναι ο πίνακας $$$U$$$.
Απάντηση
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & - \frac{3}{25} & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\1.5 & 1 & 0\\0.5 & -0.12 & 1\end{array}\right]$$$A
$$$U = \left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & 0 & \frac{58}{25}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & -12.5 & -1.5\\0 & 0 & 2.32\end{array}\right]$$$A