Υπολογιστής Διαγωνιοποίησης Μήτρας

Διαγωνιοποίησε το $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3\\1 & 5 & 1\\3 & 1 & 1\end{array}\right]$$$.

Πρώτα, βρείτε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων).

Ιδιοτιμή: $$$6$$$, ιδιοδιάνυσμα: $$$\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]$$$.

Ιδιοτιμή: $$$3$$$, ιδιοδιάνυσμα: $$$\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]$$$.

Ιδιοτιμή: $$$-2$$$, ιδιοδιάνυσμα: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]$$$.

Κατασκευάστε τον πίνακα $$$P$$$, του οποίου η στήλη $$$i$$$ είναι το ιδιοδιάνυσμα υπ’ αριθ. $$$i$$$: $$$P = \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1\\2 & -1 & 0\\1 & 1 & 1\end{array}\right]$$$.

Σχηματίστε τη διαγώνια μήτρα $$$D$$$, της οποίας το στοιχείο στη γραμμή $$$i$$$, στήλη $$$i$$$, είναι η ιδιοτιμή υπ’ αριθ. $$$i$$$: $$$D = \left[\begin{array}{ccc}6 & 0 & 0\\0 & 3 & 0\\0 & 0 & -2\end{array}\right]$$$.

Οι πίνακες $$$P$$$ και $$$D$$$ είναι τέτοιοι ώστε ο αρχικός πίνακας $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3\\1 & 5 & 1\\3 & 1 & 1\end{array}\right] = P D P^{-1}$$$.

$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\\\frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\- \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής αντίστροφου πίνακα).

$$$P = \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1\\2 & -1 & 0\\1 & 1 & 1\end{array}\right]$$$A

$$$D = \left[\begin{array}{ccc}6 & 0 & 0\\0 & 3 & 0\\0 & 0 & -2\end{array}\right]$$$A

$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\\\frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\- \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}0.166666666666667 & 0.333333333333333 & 0.166666666666667\\0.333333333333333 & -0.333333333333333 & 0.333333333333333\\-0.5 & 0 & 0.5\end{array}\right]$$$A