Υπολογιστής της μεθόδου του Όιλερ

Ο υπολογιστής θα βρει την προσεγγιστική λύση της διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Euler, με εμφανή τα βήματα.

Σχετικοί υπολογιστές: Υπολογιστής της βελτιωμένης μεθόδου του Euler (του Heun), Υπολογιστής Τροποποιημένης Μεθόδου του Euler

$$$y^{\prime }\left(t\right) = f{\left(t,y \right)}$$$:

Ή $$$y^{\prime }\left(x\right) = f{\left(x,y \right)}$$$.

Διαιρέστε χρησιμοποιώντας:

$$$h$$$:

$$$t_{0}$$$:

Ή $$$x_{0}$$$.

$$$y_{0}$$$:

$$$y_0=y(t_0)$$$ ή $$$y_0=y(x_0)$$$.

$$$t_{1}$$$:

Ή $$$x_{1}$$$.

Εάν η αριθμομηχανή δεν υπολόγισε κάτι ή έχετε εντοπίσει κάποιο σφάλμα, ή έχετε κάποια πρόταση/σχόλιο, παρακαλούμε επικοινωνήστε μαζί μας.

Η είσοδός σας

Βρείτε $$$y{\left(1 \right)}$$$ για $$$y^{\prime }\left(t\right) = t y$$$, όταν $$$y{\left(0 \right)} = 3$$$, $$$h = \frac{1}{5}$$$ χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Euler.

Λύση

Η μέθοδος του Όιλερ δηλώνει ότι $$$y_{n+1} = y_{n} + h\cdot f{\left(t_{n},y_{n} \right)}$$$, όπου $$$t_{n+1} = t_{n} + h$$$.

Έχουμε ότι $$$h = \frac{1}{5}$$$, $$$t_{0} = 0$$$, $$$y_{0} = 3$$$ και $$$f{\left(t,y \right)} = t y$$$.

Βήμα 1

$$$t_{1} = t_{0} + h = 0 + \frac{1}{5} = \frac{1}{5}$$$

$$$y_{1} = y{\left(t_{1} \right)} = y{\left(\frac{1}{5} \right)} = y_{0} + h\cdot f{\left(t_{0},y_{0} \right)} = 3 + h\cdot f{\left(0,3 \right)} = 3 + \frac{1}{5} \cdot 0 = 3$$$

Βήμα 2

$$$t_{2} = t_{1} + h = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$$$

$$$y_{2} = y{\left(t_{2} \right)} = y{\left(\frac{2}{5} \right)} = y_{1} + h\cdot f{\left(t_{1},y_{1} \right)} = 3 + h\cdot f{\left(\frac{1}{5},3 \right)} = 3 + \frac{1}{5} \cdot 0.6 = 3.12$$$

Βήμα 3

$$$t_{3} = t_{2} + h = \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$$$

$$$y_{3} = y{\left(t_{3} \right)} = y{\left(\frac{3}{5} \right)} = y_{2} + h\cdot f{\left(t_{2},y_{2} \right)} = 3.12 + h\cdot f{\left(\frac{2}{5},3.12 \right)} = 3.12 + \frac{1}{5} \cdot 1.248 = 3.3696$$$

Βήμα 4

$$$t_{4} = t_{3} + h = \frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$$$

$$$y_{4} = y{\left(t_{4} \right)} = y{\left(\frac{4}{5} \right)} = y_{3} + h\cdot f{\left(t_{3},y_{3} \right)} = 3.3696 + h\cdot f{\left(\frac{3}{5},3.3696 \right)} = 3.3696 + \frac{1}{5} \cdot 2.02176 = 3.773952$$$

Βήμα 5

$$$t_{5} = t_{4} + h = \frac{4}{5} + \frac{1}{5} = 1$$$

$$$y_{5} = y{\left(t_{5} \right)} = y{\left(1 \right)} = y_{4} + h\cdot f{\left(t_{4},y_{4} \right)} = 3.773952 + h\cdot f{\left(\frac{4}{5},3.773952 \right)} = 3.773952 + \frac{1}{5} \cdot 3.0191616 = 4.37778432$$$

Απάντηση

$$$y{\left(1 \right)}\approx 4.37778432$$$A